Для чего нужны комплексные числа?

[Евгений Машеров]

sergey zhukov в сообщении #1665075 писал(а):

Согласен, отрицательные числа более бесполезны, чем даже комплексные. Нужно, конечно, сначала решить вопрос о их необходимости.

Давайте с дробных начнём поход за очищение. А то "два землекопа и две трети"...

[vpb]

Вчера я заглянул на форум. (На математику здесь у меня, к сожалению, сейчас (и уже давно) нет времени, а по общим вопросам иногда смотрю.) Сначала я чуть было не внес свою лепту в обсуждение комплексных чисел, но сообразил, что очень поведение ТС похоже на троллинг. Задать какой-то вопрос, вроде формально приличный, но по существу бессмысленный, и наблюдать, как умные дураки на ушах стоят, пытаясь ему втолковать суть ответа. А потом сказать, дескать, сами вы ничего не понимаете и плохо объясняете. И получить от этого удовольствие. Так что я наблюдал со стороны. Ну и кончилось тем, что я и предполагал, только еще в худшем варианте, чем я думал: Anton_Peplov буквально в харю плюнули.

Я считаю, что ТСа данной темы надо забанить, и навечно. Иначе он будет постоянно атмосферу портить. Потому что такие субъекты с течением времени в приличных людей не мутируют. Призываю модератора Ende.

Коллеги вроде умные люди, а не доходит, что про математику данному субъекту объяснять бессмысленно, он не за математикой сюда пришел.

[Klein]

Когда я учился в школе, нам дали краткое введение в комплексные числа, и учитель математики сказал, что в аэродинамике они широко применяются. Что такое $\sqrt{-1}$ даже не пытайтесь представить. Вот некоторые операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корней. Вот формула Муавра, а вот комплексные числа в полярной системе координат.

После этого я больше нигде не встречал комплексных чисел. Может быть при решении элементарных дифференциальных уравнений.

И ещё была одна задачка для школьников с красивым решением, в котором применялись комплексные числа.

Дано: кольцевая железная дорога, состоящая из 13 звеньев. Какое минимальное количество звеньев необходимо добавить, чтобы удлинить эту железную дорогу, сохранив её в форме замкнутой фигуры без пересечений?

[Евгений Машеров]

vpb в сообщении #1665099 писал(а):

Коллеги вроде умные люди, а не доходит, что про математику данному субъекту объяснять бессмысленно, он не за математикой сюда пришел.

Ну, я не столь уверен. Есть шанс, что это малознающий, но самоуверенный юноша, полагающий, что все ему обязаны, а также, что он должен всё понимать, а если не способен понять, то это и не нужно. И тогда педагогическая задача сложная, но интересная. А если trollius vulgaris - то упражнение на выдержку и владение нематерным словом.

Klein в сообщении #1665100 писал(а):

После этого я больше нигде не встречал комплексных чисел. Может быть при решении элементарных дифференциальных уравнений.

Электротехника, для переменного тока. Радиотехника. Обработка сигналов. ТАУ. Гидродинамика. Даже экономика.

(Оффтоп)

https://sanitareugen.livejournal.com/22287.html

И нейрофизиология.

(Оффтоп)

https://link.springer.com/article/10.1134/S0006350919030138

Очень много приложений. А про квантовую механику пусть расскажет более меня компетентный.

Некогда школьный приятель мне сказал, что "не чувствует комплексных чисел" (тоже вкратце на уроке, или на маткружке, не помню, рассказали). Тогда я взял очень большую катушку индуктивности (у нас богатый физкабинет был), последовательно с ней "плоскую батарейку" 4.5В, и два оголённых провода на концах. Затем попросил взять провода в руки, замкнуть цепь, а потом разомкнуть. И спросил: "А теперь почувствовал?"
(в момент разрыва цепи напряжение составило несколько сот вольт; вывести это можно и через комплексные числа, как способ описать реактивное сопротивление и его действие).

Вообще же отличие комплексного числа от пары действительных в том, что определены операции именно на комплексных, а не просто прилагаем операцию к первым числам пары, затем ко вторым. Причём операции можно задавать разные. Скажем, если вместо "i" будет "эпсилон", $\varepsilon^2=0$, это будут "дуальные числа", а если "j", $j^2=1$ "двойные". У них тоже есть своя область применимости, но у комплексных шире.

[Sender]

vpb в сообщении #1665099 писал(а):

Вчера я заглянул на форум. (На математику здесь у меня, к сожалению, сейчас (и уже давно) нет времени, а по общим вопросам иногда смотрю.) Сначала я чуть было не внес свою лепту в обсуждение комплексных чисел, но сообразил, что очень поведение ТС похоже на троллинг. Задать какой-то вопрос, вроде формально приличный, но по существу бессмысленный, и наблюдать, как умные дураки на ушах стоят, пытаясь ему втолковать суть ответа. А потом сказать, дескать, сами вы ничего не понимаете и плохо объясняете. И получить от этого удовольствие. Так что я наблюдал со стороны. Ну и кончилось тем, что я и предполагал, только еще в худшем варианте, чем я думал: Anton_Peplov буквально в харю плюнули.

Я считаю, что ТСа данной темы надо забанить, и навечно. Иначе он будет постоянно атмосферу портить. Потому что такие субъекты с течением времени в приличных людей не мутируют. Призываю модератора Ende.

Коллеги вроде умные люди, а не доходит, что про математику данному субъекту объяснять бессмысленно, он не за математикой сюда пришел.

ППКС

[Евгений Машеров]

А заменить комплексное число просто "парой действительных" не выйдет. Не будет операции умножения. Она для действительных "не такая". Матрицей действительных 2х2 выйдет, с двумя элементами, равными действительной и мнимой частям, и ещё двумя, то ли равными предыдущим, то ли противоположными по знаку, то ли нулями, смотря по тому, комплексные ли числа, двойные, дуальные или ещё что. "Упрощения" сравнительно с комплексными не получится.

[Klein]

На YouTube есть популярный канал о системах образования в разных странах с упором на математику. Ведущий канала математик и берёт интервью у парней и девушек, которые учились или учатся в известных ВУЗах.

Одно из интервью было взято у выпускника мехмата Московского университета, который учился на отделении механики. Во время учёбы он посещал семинары и стажировки в известных компаниях в Москве. Он увлёкся механикой и глубоко погрузился в тему. Занимался дополнительно помимо учебы в университете.

В итоге успешно прошёл интервью в Boeing, где и проходил стажировку в Москве во время учебы. Сейчас он занимается моделированием крыла в Боенги. Я точно не помню, защитил ли он кандидатскую диссертацию до того, как его приняли на работу, или после того как его приняли в R&D Боенга. Скорее всего до защиты, поэтому и привлек внимание. У админа канала 245 тыс. подписчиков и много интервью. Интервью было записано 5-7 лет назад.

И что-то мне подсказывает, в числе прочих инструментов, парень использует и комплексные числа при работе в области моделировании крыла самолета.

Для ТС. Комплексные числа один из инструментов в математики для решения различных задач.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

katzenelenbogen в сообщении #1665001 писал(а):

да, но начал-то кто? Кто написал "привыкайте" и вот это всё?

Ахтунг, ахтунг! Царь Гиерон в чате! (и уже забанил Архимеда)

[мат-ламер]

В тему особо не вникал. Но случайно либген подсунул книгу Балк и др. "Реальные применения мнимых чисел". Наверное можно что-нибудь интересное для школьника там найти. Некоторые школьные олимпиадные задачи с многочленами удобно решаются с применением комплексных чисел. Некоторые суммы (типа $\sin x + \sin 2x +...$ ) тоже удобно вычисляются при помощи комплексных чисел. В курсе физики всякие колебания, оптику можно рассматривать с комплексными функциями (хотя в школе это не принято). О квантовой механике я не говорю, ибо это не школьное.

Это я написал на случай, если на форуме есть люди, которые школьникам преподают (может в кружках).

Великую теорему Ферма (хотя бы для случая $n=3$) можно доказывать с применением целых комплексных чисел. Но как-то на форуме я такого не встречал. (Сейчас один товарищ решил применить рычажные весы - однако!)

[Утундрий]

Предыдущее сообщение мат-ламер-а не читал. Но думаю, что ничего полезного он там не сообщил. Потом, возможно, прочитаю и уточню свою позицию по данному вопросу.

[realeugene]

Евгений Машеров в сообщении #1665106 писал(а):

Причём операции можно задавать разные. Скажем, если вместо "i" будет "эпсилон", $\varepsilon^2=0$, это будут "дуальные числа", а если "j", $j^2=1$ "двойные". У них тоже есть своя область применимости, но у комплексных шире.

Потому что комплексные числа образуют поле. Операция деления тоже важна.

Если в двух словах: польза для физики и техники от комплексных чисел в том, что многие физические модели в комплексных числах оказываются гораздо проще, чем в действительных.

-- 16.12.2024, 10:03 --

katzenelenbogen в сообщении #1664960 писал(а):

С наставлениями ещё, что мне делать.

Привыкайте.

Задав подобный вопрос вы продемонстрировали, что ваш уровень знаний науки и техники в районе нуля, и вам нужно радоваться тому, что вам тут вообще отвечают. Чтобы стать образованным человеком вам нужно засунуть в ж свою гордыню и ещё очень много учиться. Ну или пойти в землекопы.

[nnosipov]

мат-ламер в сообщении #1665454 писал(а):

Великую теорему Ферма (хотя бы для случая $n=3$) можно доказывать с применением целых комплексных чисел.

Не совсем целых (гауссовых чисе): используются числа Эйзенштейна, т.е. комплексные числа вида $a+b(-1+\sqrt{-3})/2$, где $a$, $b$ --- обычные целые числа.

[worm2]

мат-ламер, я пришёл к выводу, что на уровне школьной математики невозможно показать полезность комплексных чисел.
Да, есть какие-то олимпиадные штучки, но это по сути — или выход за пределы школьной программы, или формально школьная тема (кубическое уравнение), но всё равно практическая польза не видна.
Не получается ощутить полезность раньше дифуров или ТФКП. А от школьной скамьи до них — один-два семестра взрослой математики.

[drzewo]

worm2 в сообщении #1665559 писал(а):

я пришёл к выводу, что на уровне школьной математики невозможно показать полезность комплексных чисел.

давно когда-то была такая книженция Яковлев пособие для поступающих в вузы (МГТУ) там был целый раздел со всякими геометрическими задачками, которые решались с помощью комплексных чисел. Специфичные такие задачки.

[Утундрий]

worm2 в сообщении #1665559 писал(а):

я пришёл к выводу, что на уровне школьной математики невозможно показать полезность комплексных чисел.

worm2 в сообщении #1665559 писал(а):

Не получается ощутить полезность раньше дифуров или ТФКП

$$e^{i x}=\cos x+i \sin x$$

плюс "школьные" свойства экспоненты — вот и вся тригонометрия.