Для чего нужны комплексные числа?

[wrest]

katzenelenbogen в сообщении #1664941 писал(а):

Понятно, для чего нужны обычные числа - для выражения количества, и совсем непонятно, что могло бы значить, когда прибавляется ещё мнимая часть.

katzenelenbogen в сообщении #1664941 писал(а):

Вот объём какого-нибудь вещества - это обычные числа, а как представить себе "объём какого-то вещества с дополнительной мнимой частью", как её увидеть?

Представляю шок когда вы узнали, что люди придумали отрицательные числа, которые не выражают например количества яблок у вас в кармане или ваш вес...

[katzenelenbogen]

Anton_Peplov
с сильно урезанной и скудной математической программой. Физикой не занимался.

drzewo в сообщении #1664946 писал(а):

Посмотрите книжку <<Методы ТФКП>> Лаврентьев Шабат. Там содержится много приложений к физике.

Да, я как раз написал, что физикой не занимался почти совсем. Может быть, дело в этом.
С другой стороны. Вот вы употребляете эти слова "много приложений к физике". Но само употребление этого выражения говорит за себя. Потому что про действительные числа сказать "у них много приложений к физике" невозможно. Об этом даже не думают так.

[bot]

katzenelenbogen в сообщении #1664819 писал(а):

Почему не хватает плоскости $\mathbb{R}^2$?

А кто сказал, что не хватает? Рассмотрим в матрицы $\mathbb{R}^2$ операторы $(x, y)\to (x, y)C $, где $C=\begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix}$. Назовём эти операторы комплексными числами. Тогда сложение комплексных чисед - это сложение операторов, а их умножение - суперпозиция.
Я не любитель подобных извращений изысков, а вот мой шеф именно так и определял комплексные числа в лекциях на ФЕНе. Только слово оператор не употреблял, только сложение и умножение матриц.

[Anton_Peplov]

katzenelenbogen в сообщении #1664950 писал(а):

с сильно урезанной и скудной математической программой. Физикой не занимался.

Понятно. Тогда кратко и просто.


Как представлять себе комплексные числа? - Как пары действительных, с определенными операциями над ними.

Зачем нужны комплексные числа? - Чтобы решать задачи, которые без них не решаются. В том числе задачи, где и в условии, и в ответе фигурируют только действительные числа. В том числе из физики. См., например, метод комплексных амплитуд в теории колебаний.

Какие задачи? - Ссылку дали выше.

Что делать с тем, что я не могу представить себе комплексные числа так же легко и естественно, как действительные? - Ничего. Привыкайте.

В математике много абстрактных объектов. И чем дальше изучаешь математику, тем их больше. Комплексные числа - это цветочки. А вот как насчет бесконечномерных пространств? Или пространств, где нет расстояний между точками, но это все равно разные точки, а не одна? Я уж не говорю про какие-нибудь, прости господи, недостижимые кардиналы. Хотите изучать математику - привыкайте.

[katzenelenbogen]

Anton_Peplov
неинтересный ответ. По сути, не раскрывающий то, о чём я спросил. С наставлениями ещё, что мне делать. Вы же показываете таким образом, как вы себя по делу поведёте, и все это видят. Возникни любое дело - любой человек задастся вопрсом, а не поведёте ли вы себя так же. Объяснить вы ничего не смогли.

[Anton_Peplov]

katzenelenbogen
Какие изысканные манеры и исключительная благодарность за попытки помочь. Что ж, добро пожаловать в игнор. Пусть дальше Вам объясняет кто хочет, что хочет и как хочет.

[katzenelenbogen]

Anton_Peplov
нет, это вы с высочка не разговаривайте никогда, употребляя выражения "привыкайте" и т.д. По сути вы не ответили. Вы другими словами выразили то, что я выразил изначально.
Вы привыкайте выражаться без высокомерия. И независимо от того, написал бы я это или нет, ВСЕ ваши знакомые, прочитавшие это, зададутся вопросом, как бы вы повели себя в любом деле.
Вы пишете, что пусть дальше объясняет мне другие, но вы сами ничего не объяснили.

Это всё не потому, что я так пишу, а потому, что это само так.

[miflin]

katzenelenbogen в сообщении #1664941 писал(а):

Вот объём какого-нибудь вещества - это обычные числа, а как представить себе "объём какого-то вещества с дополнительной мнимой частью", как её увидеть?

Как-то вульгарно вы всё трактуете.Термин "мнимый" сбивает с толку? Имхо, не самый удачный термин, но так исторически сложилось.
Просто не надо усматривать в нем нечто мистическое.

В электротехнике, например, широко используются комплексные числа, и физическим величинам соответствуют
вещественные числа, в том числе и те, которые являются коэффициентами при $i$ в мнимой части.

З.Ы. Пока писал, начали разгораться "страсти-мордасти". Надеюсь, до острой фазы не дойдет.

[wrest]

(katzenelenbogen)

katzenelenbogen в сообщении #1664960 писал(а):

Вы же показываете таким образом, как вы себя по делу поведёте, и все это видят. Возникни любое дело - любой человек задастся вопрсом, а не поведёте ли вы себя так же. Объяснить вы ничего не смогли.

Такого рода ответ называется переводом дискуссии на личность собеседника. Классический прием флейма и троллинга. Прокатывает во флеймовых форумах/темах. Но не тут.

[dgwuqtj]

katzenelenbogen в сообщении #1664819 писал(а):

Почему не хватает плоскости $\mathbb{R}^2$?
Понятно, что комплексную плоскость отличает от плоскости $\mathbb{R}^2$ наличие операции умножения двух векторов, и в $\mathbb{R}^2$ её нет, но неужели просто в $\mathbb{R}^2$ нельзя ввести отдельную операцию, назвав её по-другому, такого же умножения двух векторов, и оставаться дальше в теории и во всём только в ней?

Человеческая психика так устроена, что проще думать про $\mathbb C$ как абстрактное поле, без выбранного базиса $(1, i)$ над $\mathbb R$. Хотя в принципе никто не запрещает везде заменить $\mathbb C$ на $\mathbb R^2$ и добавить текстовые описания, что в этих местах $\mathbb R^2$ понимается именно с данным набором операций, а не просто как множество пар вещественных чисел. И да, $\mathbb R^2$ — это не евклидова плоскость, а декартово произведение $\mathbb R$ на себя. Его если и рассматривать как плоскость, то с зафиксированной системой координат, в ней умножение комплексных чисел уже "есть".

[wrest]

katzenelenbogen
Нахождение вещественных корней кубических уравнений с вещественными коэффициентами (формула Кардано) требует использования комплексных чисел.

[katzenelenbogen]

wrest

(Оффтоп)

да, но начал-то кто? Кто написал "привыкайте" и вот это всё? При этом ещё дав скудный ответ, уводящий не в не то. Уводящий в категории более сложных теорий. Они меня интересуют, эти теории? Я не знаю об их существовании? Полный выпендрёж и эмоции без ответа на вопрос, попытка поставить себя повыше.

Он на личность перешёл первый через "привыкайте". Потому что это обращение ко мне - лично. А я написал то, на что вы указываете, в ответ и не с целью перехода на личности как такового, а чтобы пресечь абсолютно неправильную атмосферу в теме.

[Утундрий]

katzenelenbogen
Понимание возникает только после овладевания. Не умеете пользоваться инструментом, значит и не поймёте, для чего он нужен. А любые попытки понять перед изучением — не более чем ода лени. Вам здесь не о пользе комплексных чисел вынюхать хочется, а только обосновать почему можно их игнорировать.

[Red_Herring]

Комплексные числа это уже не векторы на плоскости, к которым приделали умножение, и не матрицы вида $\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a\end{pmatrix}$, а новый математический объект, и ТФКП это качественно новая теория, отличная и от теории функций одного вещественного переменного, и от теории функций двух вещественных переменных. И, кстати, те математики, которые придумали комплексные числа, думали о них как о числах.

[sergey zhukov]

katzenelenbogen
Понимание = привыкание. Привыкание = практика использования.

-- 14.12.2024, 02:17 --

wrest в сообщении #1664948 писал(а):

что люди придумали отрицательные числа

Согласен, отрицательные числа более бесполезны, чем даже комплексные. Нужно, конечно, сначала решить вопрос о их необходимости.