Применимы ли преобразования Лоренца к метрике Шварцшильда?

[piksel]

Метрика Шварцшильда описывает гравитационное поле сферического тела. Специальная теория относительности, основанная на преобразованиях Лоренца, экспериментально подтверждена. При слабой гравитации пространство-время приближенно плоское и метрика Шварцшильда в прямоугольных координатах в первом приближении принимает вид

$$d{s^2} = {c^2}\left( {1 - \frac{\alpha }{{r}}} \right)d{t^2} - \left( {1 + \frac{\alpha }{{r}}} \right)(d{x^2} + d{y^2} + d{z^2}).$$

При малой скорости, ускорения материальной частицы вдоль координат следуют из уравнений геодезических:

$$ \frac{d^2r}{ds^{2}}=-\frac{\alpha }{2r^2} \left(\frac{d(ct)}{ds}\right)^{2},$$

$$ \frac{d^2t}{ds^{2}}=-\frac{\alpha }{r^2}\frac{d(ct)}{ds}\frac{dr}{ds}.$$

После преобразований Лоренца, когда наблюдатель движется вдоль координаты x, метрика принимает вид

$$ds^2=c^2\left(1-\frac{1+{{\beta}}^2}{1-{{\beta}}^2}\frac{\alpha}{r^\prime}\right)d{t^\prime}^2-\frac{4{v}}{1-{{\beta}}^2}\frac{\alpha}{r^\prime}dt^\prime dx^\prime-\left(1+\frac{1+{{\beta}}^2}{1-{{\beta}}^2}\frac{\alpha}{r^\prime}\right)d{x^\prime}^2-\left(1+\frac{\alpha}{r^\prime}\right)(d{y^\prime}^2+ d{z^\prime}^2)$$

при $\beta =v/c$ и $r' = \sqrt {{{\left( {\frac{{x' +vt'}}{{\sqrt {1 - {{\tilde \beta }^2}} }}} \right)}^2} + {{y'}^2} + {{z'}^2}}$. Выражения для ускорений вдоль пространственных координат и времени при малых $\beta $ и $\frac{\alpha}{r^\prime}$ без величин большего порядка малости по сравнению с $\frac{\alpha}{r^\prime ^2}$ будут

$$ \frac{d^2x^\prime}{ds^{2}}=-x^\prime\frac{\alpha }{2{r^\prime}^3} \left(\frac{d(ct^\prime)}{ds}\right)^{2},$$

$$ \frac{d^2y^\prime}{ds^{2}}=-y^\prime\frac{\alpha }{2{r^\prime}^3} \left(\frac{d(ct^\prime)}{ds}\right)^{2},$$

$$ \frac{d^2z^\prime}{ds^{2}}=-z^\prime\frac{\alpha }{2{r^\prime}^3} \left(\frac{d(ct^\prime)}{ds}\right)^{2},$$

$$ \frac{d^2t^\prime}{ds^{2}}=-\frac{\alpha x}{{r^\prime}^3}\frac{d(ct^\prime)}{ds}\frac{dx^\prime}{ds}-\frac{\alpha y}{{r^\prime}^3}\frac{d(ct^\prime)}{ds}\frac{dy^\prime}{ds}-\frac{\alpha z}{{r^\prime}^3}\frac{d(ct^\prime)}{ds}\frac{dz^\prime}{ds}.$$

Этот результат может объяснить годовые изменения в дополнительном ускорении Пионера 10, см.
https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9903024 [1],
https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0104064.



Рассмотрим ожидаемое дополнительное ускорение Pioneer 10, определенное с помощью эффекта Доплера. Оно имеет периодическую составляющую с амплитудой $ (2,9-2,4)\cdot10^{-8} cm^2/s $ на расстоянии 40 а.е. и $ (1,3-0,8 )\cdot10^{-8} cm^2/s $ для 60 а.е. Ускорения и расстояния определяются приблизительно по графику и схеме полета.
Суммарное дополнительное ускорение определялось по формуле [1], связывающей расчетную частоту принятого сигнала с наблюдаемой,

$$ \nu _{obs} = \nu _{model}\cdot( 1- a_P\cdot t/c) $$

в предположении, что это вызвано ускорением самого космического аппарата. Однако тот же эффект даст и замедление времени, рассчитанное по формуле

$$\nu _{obs} = \nu _{model} \cdot( 1-с\int_{s}^{s_0} \frac{d^2t}{ds^{2}}ds)$$

для $ s \approx ct $.

Направим ось X ​​от Солнца к аппарату Pioneer 10. Скорость $u= \frac{dx^\prime}{ds}$ вычисляется следующим образом:

$$ u =u_P+ u_Ecos(\omega t^\prime + \phi _0),$$

где $u_P$ — скорость Пионера относительно Солнца, $ u_E$ — орбитальная скорость Земли, $\omega$ — период обращения Земли вокруг Солнца, а $\phi _0$ — начальный угол. Расчеты с использованием формулы для $\frac{d^2t^\prime}{ds^{2}}$ при преобразовании в ускорение для периодической составляющей дают $ 3,7\cdot10^{-8} cm^2/s$ на расстоянии 40 АЕ и $1,6\cdot10^{-8} cm^2/s$ для 60 АЕ. Эти значения близки к наблюдаемым.

Есть ли какие-нибудь другие наблюдения, подтверждающие этот результат?

[Утундрий]

От того, что мы делаем некоторую замену координат, у метрики не отрастают новые рожки да ножки.

[piksel]

Утундрий в сообщении #1664740 писал(а):

От того, что мы делаем некоторую замену координат, у метрики не отрастают новые рожки да ножки.

Смотря какие преобразования. Если преобразования только пространственных координат от пространственных, то ничего не отрастет. А если и пространственных от пространственных и времени или времени от пространственных и времени, то физические свойства меняются. Примеры: пространство Риндлера из метрики Миньковского или метрика Леметра ЛЛ2 (102,3), полученная из метрики Шварцшильда, не стационарна.

[Утундрий]

piksel в сообщении #1664741 писал(а):

Примеры: пространство Риндлера из метрики Миньковского или метрика Леметра ЛЛ2 (102,3), полученная из метрики Шварцшильда, не стационарна.

Это примеры введения более или менее удачных координат на одном и том же ПВ. Само ПВ от этого не меняется.

[piksel]

Утундрий в сообщении #1664744 писал(а):

Это примеры введения более или менее удачных координат на одном и том же ПВ. Само ПВ от этого не меняется.

ПВ не меняется, но появляются дополнительные эффекты.

[Утундрий]

piksel в сообщении #1664748 писал(а):

ПВ не меняется, но появляются дополнительные эффекты.

Это за счёт чего же? Геодезическая, найденная в каких-то одних координатах, тем самым найдена и во всех остальных (допустимых и покрывающих саму геодезическую). И это та же самая геодезическая, как её ни крути.

[piksel]

Утундрий
Вы крутой математик, а не понимаете или делаете вид, что не понимаете элементарных вещей. В ПВ Риндлера время зависит от пространственной координаты, а в ПВ Миньковского не зависит. Разница есть.

[Утундрий]

piksel в сообщении #1664752 писал(а):

В ПВ Риндлера время зависит от пространственной координаты...

Вах!

Впрочем, всё было ясно уже после упоминания "Пионеров".

[yesterday]

Группа общековариантных преобразований содержит в себе группу Пуанкаре, конечно. Но, вопрос, смотрю, далеко не об этом. Как бы попроще пояснить...смотрите, у вас есть, условно, некоторый футбольный мячик спущенный. Он имеет сложную форму, но про теорию вложений пока забудем. Просто нарисуем на части мячика координатную сетку 2 способами, любыми. $f(M_4)\rightarrow R^4$ и $g(M_4)\rightarrow R^4$. Это будет называться картами. (про атлас пока говорить не будем). Теперь маркером на мячике поставим точку $A$. Переход от описания $f(A)$ к $g(A)$ и будет такой заменой координат. Видите, мы описывем одну точку многообразия $M_4$, так что никакие новые эффекты не появятся. просто неоткуда. (П.С. если помахать руками, вспомнить про такие "страшные слова" как инфинитоземальность, покрыть всё многообразие картами, составив атлас и прочее, то можно говорить про группу $GL_4(\mathbb{R})$)

[realeugene]

piksel в сообщении #1664733 писал(а):

Этот результат может объяснить годовые изменения в дополнительном ускорении Пионера 10

Вопрос аномального ускорения Пионеров не закрыли лет 10 назад?

[piksel]

yesterday в сообщении #1664757 писал(а):

Группа общековариантных преобразований содержит в себе группу Пуанкаре, конечно. Но, вопрос, смотрю, далеко не об этом. Как бы попроще пояснить...смотрите, у вас есть, условно, некоторый футбольный мячик спущенный. Он имеет сложную форму, но про теорию вложений пока забудем. Просто нарисуем на части мячика координатную сетку 2 способами, любыми. $f(M_4)\rightarrow R^4$ и $g(M_4)\rightarrow R^4$. Это будет называться картами. (про атлас пока говорить не будем). Теперь маркером на мячике поставим точку $A$. Переход от описания $f(A)$ к $g(A)$ и будет такой заменой координат. Видите, мы описывем одну точку многообразия $M_4$, так что никакие новые эффекты не появятся. просто неоткуда. $[/math])

Я вам скажу более, с помощью общековариантных преобразований от 5-мерной метрики Минковского можно перейти к метрике, включающей в себя 4-мерную метрику Фридмана. Но это не значит, что метрика Фридмана описывает плоское статическое пространство.

-- Пт дек 13, 2024 10:38:49 --

realeugene в сообщении #1664832 писал(а):

Вопрос аномального ускорения Пионеров не закрыли лет 10 назад?

В данном случае рассматривается не постоянная составляющая ускорения, которая была связана с тепловым излучением, а его годичные колебания.

[Geen]

piksel в сообщении #1664844 писал(а):

с помощью общековариантных преобразований от 5-мерной метрики Минковского можно перейти к метрике, включающей в себя 4-мерную метрику Фридмана

Это называется изометрическим вложением, а не "общековариантным преобразованием". И к делу это не имеет отношения.

piksel в сообщении #1664752 писал(а):

В ПВ Риндлера время зависит от пространственной координаты, а в ПВ Миньковского не зависит. Разница есть.

Нет никакого ПВ Риндлера. И ПВ Миньковьского тоже нет.

piksel в сообщении #1664748 писал(а):

ПВ не меняется, но появляются дополнительные эффекты.

Никакое преобразование координат не может привести к физически наблюдаемым эффектам. Это принцип такой. Которому следует вся физика.
Поэтому заявление

piksel в сообщении #1664741 писал(а):

Смотря какие преобразования. Если преобразования только пространственных координат от пространственных, то ничего не отрастет. А если и пространственных от пространственных и времени или времени от пространственных и времени, то физические свойства меняются.

это (агрессивная) лженаука.

piksel в сообщении #1664733 писал(а):

в первом приближении

В первом приближении вообще никаких эффектов нет. И во втором приближении уже давно никто не работает (как минимум, третье).

[realeugene]

piksel в сообщении #1664844 писал(а):

В данном случае рассматривается не постоянная составляющая ускорения, которая была связана с тепловым излучением, а его годичные колебания.

Он же наверное постоянно направлен антенной на Землю, и качается относительно Солнца с годовым земным циклом? Из-за этого тепловое излучение тоже должно иметь годовой (земной) цикл?

[piksel]

Geen в сообщении #1664863 писал(а):

piksel в сообщении #1664733 писал(а):

в первом приближении

В первом приближении вообще никаких эффектов нет. И во втором приближении уже давно никто не работает (как минимум, третье).

Это голословные утверждения, все зависит от порядка величин.

Geen в сообщении #1664863 писал(а):

piksel в сообщении #1664752 писал(а):

В ПВ Риндлера время зависит от пространственной координаты, а в ПВ Миньковского не зависит. Разница есть.

Нет никакого ПВ Риндлера. И ПВ Миньковьского тоже нет.

Пространство-время Миньковского

$$ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$$

после преобразований Риндлера переходит к виду

$$ ds^2 = X^2 \, dT^2 - dX^2 - dy^2 - dz^2. $$

В ПВ Миньковского собственное время совпадает с координатным $ ds^2 = dt^2, $
во втором ПВ оно зависит от координаты X: $ ds^2 =X^2 dT^2. $
Размерности могут быть согласованы введением соответствующих коэффициентов.

Geen в сообщении #1664863 писал(а):

piksel в сообщении #1664844 писал(а):

с помощью общековариантных преобразований от 5-мерной метрики Минковского можно перейти к метрике, включающей в себя 4-мерную метрику Фридмана

Это называется изометрическим вложением, а не "общековариантным преобразованием". И к делу это не имеет отношения.

Вы передергиваете. Это изометрическое вложение в пространство, полученное с помощью общековариантного преобразования, см. https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9805018 , п. 6.7 .

[realeugene]

piksel в сообщении #1664889 писал(а):

во втором ПВ оно зависит от координаты X: $ ds^2 =X^2 dT^2. $

И чему же стал равен тензор Римана?

-- 13.12.2024, 14:04 --

piksel в сообщении #1664741 писал(а):

то физические свойства меняются

Любой наблюдатель наблюдает все физические эффекты из своей сопутствующей ИСО с тремя пространственными осями, торчащими из макушки, глаз и ушей, которая не зависит от выбора вами координат где бы то ни было.