О некоторых гипотезах о простых числах

[vicvolf]

Рассмотрим вероятностное пространство:

RIP в сообщении #1256452 писал(а):

Любой начальный отрезок натурального ряда $\{1,2,\dotsc,n\}$ можно естественным образом превратить в вероятностное пространство $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$, взяв $\Omega_{n}=\{1,2,\dotsc,n\}$, $\mathcal{A}_{n}$ — все подмножества $\Omega_{n}$, $\mathbb{P}_{n}(A)=\frac{|A|}{n}$. Тогда произвольную (вещественно- или даже комплекснозначную) функцию $f(k)$ натурального аргумента (а точнее, её ограничение на $\Omega_{n}$) можно рассматривать как случайную величину $\xi_{n}$ на этом вероятностном пространстве: $\xi_{n}(k)=f(k)$, $1\leqslant k\leqslant n$.

Функцию натурального аргумента еще называют арифметической функцией, поэтому такую функцию можно рассматривать, как случайную величину на данном вероятностном пространстве.
Количество натуральных чисел, удовлетворяющих определенным условиям, не превосходящим натуральное число $n$ обозначим $K(n)$.
$K(n)$ является действительной функцией натурального аргумента или действительной арифметической функцией, поэтому ее можно рассматривать, как случайную величину на указанном вероятностном пространстве.

Утверждение 1
Пусть на указанном выше вероятностном пространстве $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$, построенном на начальном интервале натурального ряда $[1,n]$, арифметической функции $K(n)$ соответствует равновероятная случайная величина со значениями: $K(1),K(2),...,K(n)$. Пусть также заданы вероятности на пространствах от $\left(\Omega_{1},\mathcal{A}_{1},\mathbb{P}_{1}\right)$ до $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$: $p_1=K(1)/1,...,p_n=K(n)/n$.
На другом вероятностном пространстве построим случайную величину, равную сумме случайных Бернулли $K_n=\sum_{i=1}^n{x_i}$, с указанными вероятностями: $p_1=K(1)/1,...,p_n=K(n)/n$ .
Тогда выполняется асимптотика $K(n) \sim \sum_{i=1}^n {K(i)/i}$ при $K(i)=Ci/\ln^k(i)$ и $n \to \infty$, где $C$- действительная , а $k$ - натуральная постоянные.
Другими словами, в этом случае, $K(n)$ равна асимптотике математического ожидания случайной величины $K_n=\sum_{i=1}^n{x_i}$.

Доказательство
В случае, если случайная величина является суммой случайных величин Бернулли $K_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$, то математическое ожидание $K_n$ равно:
$E[K_i]=\sum_{i=1}^n{p_i}=\sum_{i=1}^n{K(i)/i}$.
Учитывая, что справедливо соотношение $\sum_{i=1}^n{C/\ln^k(n)} \sim Cn/ln^k(n)}$ при $n \to \infty$, то выполняется асимптотика $K(n) \sim \sum_{i=1}^n{K(i)/i}$ при $K(i)=Ci/\ln^k(i)$ и $n \to \infty$, где $C$- действительная , а $k$ - натуральная постоянные.

Теперь напомню один из вопросов.

Для больших натуральных значений $n$, на основании закона о простых числах, значение $\pi(n)$ приблизительно равно $n/\ln(n)$, поэтому вероятность большого, наудачу выбранного, натурального числа быть простым равна примерно $1/\ln(n)$. Однако, это верно не для всех натуральных значений $n$. Например, вероятность большого четного числа быть простым равна 0, аналогично для натуральных чисел $3n,5n,...,qn$.

Рассмотрим событие $B$, что наудачу выбранное , большое натуральное число является простым и событие $C$, что наудачу выбранное большое натуральное число равно $kn,k=2,3,5...,q$. Тогда $P(B)$ примерно равно $1/ln(n)$, а условная вероятность $P(B/C)=0$, поэтому указанные события являются зависимыми.

Поставим цель устранить указанную ошибку и найти такое подмножество натуральных чисел $A$, чтобы события $a_i \in A$ были независимыми, т.е. $P(a_1 \in A,...,a_k \in A)=P(a_1 \in A)...P(a_k \in A)$. (1)

И решение этого вопроса.

Пусть имеется простое число $q \geq 3$, тогда обозначим

$Q=\prod_{2 \leq p \leq q}{p}$, (2)

т.е. праймориал $q$.

Будем удалять из отрезка натурального ряда последовательно числа, делящиеся на $2,3,...,q$. Таким образом, мы удаляем все числа вида $km$, которые превносили зависимость.
Обозначим полученное подмножество - $A$. Пусть $a \in A$, тогда на основании (2) в этом случае - $(a,Q)=1$.

Пусть имеется последовательность натуральных чисел $a_1,...,a_k$, удовлетворяющая условиям:

$a_1<Q,...,a_k<Q, (a_1,Q)=1,...,(a_k,Q)=1$, (3)

тогда различные события, что $a_i \in A$ в силу построения и (3) будут независимыми, т.е. выполняется условие (1).

Устремим $q \to \infty$, тогда подмножество $A$ станет подмножеством простых чисел, а $a_1,...,a_k$ - простыми числами и различные события принадлежности к подмножеству простых чисел будут независимыми.

[vicvolf]

Исправлю:
Утверждение 1
Пусть на указанном выше вероятностном пространстве $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$, построенном на начальном интервале натурального ряда $[1,n]$, арифметической функции $K(n)$ соответствует равновероятная случайная величина со значениями: $K(1),K(2),...,K(n)$. Пусть также заданы вероятности на пространствах от $\left(\Omega_{1},\mathcal{A}_{1},\mathbb{P}_{1}\right)$ до $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$: $p_1=K(1)/1,...,p_n=K(n)/n$.
На другом вероятностном пространстве построим случайную величину, равную сумме случайных Бернулли $K_n=\sum_{i=1}^n{x_i}$, с указанными вероятностями: $p_1=K(1)/1,...,p_n=K(n)/n$ .
Тогда выполняется асимптотика $K(n) \sim \sum_{i=2}^n {K(i)/i}$ при $K(i)=Ci/\ln^k(i)$ и $n \to \infty$, где $C$- действительная , а $k$ - натуральная постоянные.
Другими словами, в этом случае, $K(n)$ равна асимптотике математического ожидания случайной величины $K_n=\sum_{i=2}^n{x_i}$.

Доказательство
В случае, если случайная величина является суммой случайных величин Бернулли $K_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$, то математическое ожидание $K_n$ равно:
$E[K_i]=\sum_{i=1}^n{p_i}=\sum_{i=1}^n{K(i)/i}$.
Учитывая, что справедливо соотношение $\sum_{i=2}^n{C/\ln^k(i)} \sim Cn/\ln^k(n)}$ при $n \to \infty$, то выполняется асимптотика $K(n) \sim \sum_{i=2}^n{K(i)/i}$ при $K(i)=Ci/\ln^k(i)$ и $n \to \infty$, где $C$- действительная , а $k$ - натуральная постоянные.

[vicvolf]

Для последовательности (3) можно доказать, что
$P(a_i \in A) \sim \frac{Q}{\varphi(Q)\ln(a_i)}$ при $a_i \to \infty,q \to \infty$, (4)

где $Q=\prod_{p \leq q} {p}$, а $p,q$ - простые числа.

Как было выше показано, для последовательности (3) выполняется независимость данных событий, поэтому на основании (4):
$P(a_1 \in A,..., a_k \in A)=P(a_1 \in A) \cdot ... \cdot P(a_k \in A) \sim \frac {C_k}{\ln(a_1)...\ln(a_k)}$, (5)

где $C_k=Q^k/\varphi(Q)^k$.

Пусть $n$ - большое число и $a_1>n,...,a_k>n$, тогда на основании (5) при $n \to \infty$:
$P(a_1 \in A,..., a_k \in A) \sim C_k/\ln^k(n)$. (6)

Рассмотрим последовательность случайных величин Бернулли: $x_1,x_2,...,x_n$, определенных на одном вероятностном пространстве. Пусть случайная величина $x_i=1$ с вероятностью $C_k/\ln^k(i)$, в противном случае $x_i=0$. Тогда математическое ожидание случайной величины $K_n=\sum_{i=2}^n {x_i}$ равно:
$E[K_n]=\sum_{i=2}^n {C_k/\ln^k(i)}$. (7)

На основании (7) асимптотика математического ожидания случайной величины $K_n=\sum_{i=2}^n {x_i}$ при $n \to \infty$ равна:
$E[K_n] \sim C_k\int_{t=2}^n {dt/\ln^k(t)} \sim C_kn/\ln^k(n)$. (8)

Таким образом, выполняются условия утверждения 1 и на основании (8):
$K(n) \sim C\int_{t=2}^n {dt/\ln^k(t)}$.

Значения $C$ и $k$ - зависят от конкретной гипотезы о простых числах.

[vicvolf]

Понятно, что утверждение 1 будет справедливо, если в асимптотике отбросить конечное число первых членов суммы, т.е.
$K(n) \sim \sum_{i=b}^n {K(i)/i}$ (9)
при $K(i)=Ci/\ln^k(i)$ и $n \to \infty$, где $C$- действительная , а $b,k$ - натуральные постоянные.

В качестве примера указанного подхода определения асимптотики арифметической функции $K$ рассмотрим нахождение асимптотики количества простых близнецов, не превосходящих большое $N$.

На основании (7) и (9) математическое ожидание случайной величины $K_N$, в данном случае, равно:
$E[K_N]=\sum_{n=Q}^N{\frac{Q^2}{\varphi(Q)^2\ln^2(n)}}$. (10)

На основании Китайской теоремы об остатках существует $\prod_{3 \leq p \leq q}{(p-2)}$ классов вычетов по модулю $Q=\prod_{2 \leq p \leq q}{p}$, таких что $(n,Q)=1,(n+2,Q)=1$, поэтому учитывая (10) получим:
$E[K_N]=\sum_{n=Q}^N{\frac{Q^2}{\varphi(Q)^2\ln^2(n)}}=[N/Q]\prod_{2 \leq p \leq q}{(p-2)}\frac{Q^2}{\varphi(Q)^2\ln^2(n)}}$. (11)

Так как $\varphi(Q)=\varphi(\prod_{2 \leq p \leq q}{p})=\prod_{2 \leq p \leq q}{(p-1)}$, то на основании (11), получаем асимптотику математического ожидания случайной величины $K_N$ при $N \to \infty,q \to \infty$:
$E[K_N]=[N/Q]\prod_{2 \leq p \leq q}{(p-2)}\frac{Q^2}{\varphi(Q)^2\ln^2(n)}} \sim \frac{2N}{\ln^2(N)}\prod_{p \geq 3}\frac{p(p-2)}{(p-1)^2}$. (12)

На основании утверждения 1 асимптотика $K(N)$ также определяется по формуле (12).

[vicvolf]

Модель простых чисел Крамера-Ченда - это вероятностная модель, которая позволяет оценить асимптотику количества простых чисел и их комбинаций, таких как простые близнецы.

Предположения модели Крамера-Ченда:

1. Простые числа распределены "случайным" образом. Вероятность того, что случайно выбранное число $n$ является простым, приблизительно равна $1/\ln(n)$​.

2. Независимость. Модель предполагает, что простые числа "независимы" друг от друга в том смысле, например, что вероятность того, что два числа $n$ и $n+2$ оба являются простыми, равна произведению вероятностей для каждого из них.

3. Суммирование вероятностей. Чтобы оценить количество простых близнецов до некоторого числа $N$, мы суммируем вероятности для всех возможных пар $(n,n+2)$.​

В данном подходе я уточнил пункты 1 и 2 и обосновал уточненный вариант.

В п. 3 суммирование вероятностей производится потому, что находится математическое ожидание случайной величины - $E[K_N]$.

Основное - обоснован переход к асимптотике самой арифметической функции - $K(N) \sim E[K_N]$, если $K(N)=CN/\ln^k(N)$ при $N \to \infty$, т.е. от вероятностной модели к реальной.

[vicvolf]

Дам пояснения к данному подходу оценки распределения простых чисел поэтапно:

1. Не используются вероятностные модели и соответственно не делаются предположения 1, 2, 3.

2. Отмечу, что из теоремы о простых числах вероятность большого натурального числа $n$ быть простым примерно равна $1/\ln(n)$. Но это неверно для натуральных чисел кратных простым числам - $n=mq$ ($m$ -натуральное, $q$ - простое), так как данная вероятность равна 0. Поэтому данные числа превносят зависимость событий, о которой я говорил выше.

3. Для устранения этой ошибки мы просеиваем натуральные числа с помощью решета Эратосфена, удаляем числа кратные: $2,3,...,q$. В результате этой процедуры остаются только взаимно простые числа по модулю $Q=2 \cdot ...\cdot q$, которые образуют подмножество натуральных чисел $a_i \in A$, где $(a_i,Q)=1$ и при $a_i \to \infty$ получаем вероятность $P(a_i \in A) \sim \frac{Q}{\varphi(Q)\ln(a_i)}$.

4. Учитывая отсутствие натуральных чисел вида $n=mq$ получаем независимость событий $a_i \in A$, поэтому для $k$- кортежа $\{a_1,...,a_k\}$ получаем:
$P(a_1 \in A,...,a_k \in A)=P(a_1 \in A) \cdot.$$..\cdot P(a_k \in A) \sim \frac{Q^k}{\varphi(Q)^k\ln(a_1)...\ln(a_k)}$.

5. Вводим случайные величины Бернулли с вероятностью $p_a=\frac{Q^k}{\varphi(Q)^k\ln(a_1)...\ln(a_k)}$ и получаем математическое ожидание суммы данных случайных величин Бернулли:
$E[K_n]=\sum {p_a}=\sum {\frac{Q^k}{\varphi(Q)^k\ln(a_1)...\ln(a_k)}}$.

6. Находим асимптотику данного математического ожидания $E[K_n]$ при $n \to \infty, q \to \infty$ с использованием Китайской теоремы об остатках.

7. На основании утверждения 1 асимптотика арифметической функции $K(n) \sim E[K_n]$.