О некоторых гипотезах о простых числах

[vicvolf]

Рассмотрим вероятностное пространство:

RIP в сообщении #1256452 писал(а):

Любой начальный отрезок натурального ряда $\{1,2,\dotsc,n\}$ можно естественным образом превратить в вероятностное пространство $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$, взяв $\Omega_{n}=\{1,2,\dotsc,n\}$, $\mathcal{A}_{n}$ — все подмножества $\Omega_{n}$, $\mathbb{P}_{n}(A)=\frac{|A|}{n}$. Тогда произвольную (вещественно- или даже комплекснозначную) функцию $f(k)$ натурального аргумента (а точнее, её ограничение на $\Omega_{n}$) можно рассматривать как случайную величину $\xi_{n}$ на этом вероятностном пространстве: $\xi_{n}(k)=f(k)$, $1\leqslant k\leqslant n$.

Функцию натурального аргумента еще называют арифметической функцией, поэтому такую функцию можно рассматривать, как случайную величину на данном вероятностном пространстве.
Количество натуральных чисел, удовлетворяющих определенным условиям, не превосходящим натуральное число $n$ обозначим $K(n)$.
$K(n)$ является действительной функцией натурального аргумента или действительной арифметической функцией, поэтому ее можно рассматривать, как случайную величину на указанном вероятностном пространстве.

Утверждение 1
Пусть на указанном выше вероятностном пространстве $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$, построенном на начальном интервале натурального ряда $[1,n]$, арифметической функции $K(n)$ соответствует равновероятная случайная величина со значениями: $K(1),K(2),...,K(n)$. Пусть также заданы вероятности на пространствах от $\left(\Omega_{1},\mathcal{A}_{1},\mathbb{P}_{1}\right)$ до $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$: $p_1=K(1)/1,...,p_n=K(n)/n$.
На другом вероятностном пространстве построим случайную величину, равную сумме случайных Бернулли $K_n=\sum_{i=1}^n{x_i}$, с указанными вероятностями: $p_1=K(1)/1,...,p_n=K(n)/n$ .
Тогда выполняется асимптотика $K(n) \sim \sum_{i=1}^n {K(i)/i}$ при $K(i)=Ci/\ln^k(i)$ и $n \to \infty$, где $C$- действительная , а $k$ - натуральная постоянные.
Другими словами, в этом случае, $K(n)$ равна асимптотике математического ожидания случайной величины $K_n=\sum_{i=1}^n{x_i}$.

Доказательство
В случае, если случайная величина является суммой случайных величин Бернулли $K_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$, то математическое ожидание $K_n$ равно:
$E[K_i]=\sum_{i=1}^n{p_i}=\sum_{i=1}^n{K(i)/i}$.
Учитывая, что справедливо соотношение $\sum_{i=1}^n{C/\ln^k(n)} \sim Cn/ln^k(n)}$ при $n \to \infty$, то выполняется асимптотика $K(n) \sim \sum_{i=1}^n{K(i)/i}$ при $K(i)=Ci/\ln^k(i)$ и $n \to \infty$, где $C$- действительная , а $k$ - натуральная постоянные.

Теперь напомню один из вопросов.

Для больших натуральных значений $n$, на основании закона о простых числах, значение $\pi(n)$ приблизительно равно $n/\ln(n)$, поэтому вероятность большого, наудачу выбранного, натурального числа быть простым равна примерно $1/\ln(n)$. Однако, это верно не для всех натуральных значений $n$. Например, вероятность большого четного числа быть простым равна 0, аналогично для натуральных чисел $3n,5n,...,qn$.

Рассмотрим событие $B$, что наудачу выбранное , большое натуральное число является простым и событие $C$, что наудачу выбранное большое натуральное число равно $kn,k=2,3,5...,q$. Тогда $P(B)$ примерно равно $1/ln(n)$, а условная вероятность $P(B/C)=0$, поэтому указанные события являются зависимыми.

Поставим цель устранить указанную ошибку и найти такое подмножество натуральных чисел $A$, чтобы события $a_i \in A$ были независимыми, т.е. $P(a_1 \in A,...,a_k \in A)=P(a_1 \in A)...P(a_k \in A)$. (1)

И решение этого вопроса.

Пусть имеется простое число $q \geq 3$, тогда обозначим

$Q=\prod_{2 \leq p \leq q}{p}$, (2)

т.е. праймориал $q$.

Будем удалять из отрезка натурального ряда последовательно числа, делящиеся на $2,3,...,q$. Таким образом, мы удаляем все числа вида $km$, которые превносили зависимость.
Обозначим полученное подмножество - $A$. Пусть $a \in A$, тогда на основании (2) в этом случае - $(a,Q)=1$.

Пусть имеется последовательность натуральных чисел $a_1,...,a_k$, удовлетворяющая условиям:

$a_1<Q,...,a_k<Q, (a_1,Q)=1,...,(a_k,Q)=1$, (3)

тогда различные события, что $a_i \in A$ в силу построения и (3) будут независимыми, т.е. выполняется условие (1).

Устремим $q \to \infty$, тогда подмножество $A$ станет подмножеством простых чисел, а $a_1,...,a_k$ - простыми числами и различные события принадлежности к подмножеству простых чисел будут независимыми.

[vicvolf]

Исправлю:
Утверждение 1
Пусть на указанном выше вероятностном пространстве $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$, построенном на начальном интервале натурального ряда $[1,n]$, арифметической функции $K(n)$ соответствует равновероятная случайная величина со значениями: $K(1),K(2),...,K(n)$. Пусть также заданы вероятности на пространствах от $\left(\Omega_{1},\mathcal{A}_{1},\mathbb{P}_{1}\right)$ до $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$: $p_1=K(1)/1,...,p_n=K(n)/n$.
На другом вероятностном пространстве построим случайную величину, равную сумме случайных Бернулли $K_n=\sum_{i=1}^n{x_i}$, с указанными вероятностями: $p_1=K(1)/1,...,p_n=K(n)/n$ .
Тогда выполняется асимптотика $K(n) \sim \sum_{i=2}^n {K(i)/i}$ при $K(i)=Ci/\ln^k(i)$ и $n \to \infty$, где $C$- действительная , а $k$ - натуральная постоянные.
Другими словами, в этом случае, $K(n)$ равна асимптотике математического ожидания случайной величины $K_n=\sum_{i=2}^n{x_i}$.

Доказательство
В случае, если случайная величина является суммой случайных величин Бернулли $K_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$, то математическое ожидание $K_n$ равно:
$E[K_i]=\sum_{i=1}^n{p_i}=\sum_{i=1}^n{K(i)/i}$.
Учитывая, что справедливо соотношение $\sum_{i=2}^n{C/\ln^k(i)} \sim Cn/\ln^k(n)}$ при $n \to \infty$, то выполняется асимптотика $K(n) \sim \sum_{i=2}^n{K(i)/i}$ при $K(i)=Ci/\ln^k(i)$ и $n \to \infty$, где $C$- действительная , а $k$ - натуральная постоянные.

[vicvolf]

Для последовательности (3) можно доказать, что
$P(a_i \in A) \sim \frac{Q}{\varphi(Q)\ln(a_i)}$ при $a_i \to \infty,q \to \infty$, (4)

где $Q=\prod_{p \leq q} {p}$, а $p,q$ - простые числа.

Как было выше показано, для последовательности (3) выполняется независимость данных событий, поэтому на основании (4):
$P(a_1 \in A,..., a_k \in A)=P(a_1 \in A) \cdot ... \cdot P(a_k \in A) \sim \frac {C_k}{\ln(a_1)...\ln(a_k)}$, (5)

где $C_k=Q^k/\varphi(Q)^k$.

Пусть $n$ - большое число и $a_1>n,...,a_k>n$, тогда на основании (5) при $n \to \infty$:
$P(a_1 \in A,..., a_k \in A) \sim C_k/\ln^k(n)$. (6)

Рассмотрим последовательность случайных величин Бернулли: $x_1,x_2,...,x_n$, определенных на одном вероятностном пространстве. Пусть случайная величина $x_i=1$ с вероятностью $C_k/\ln^k(i)$, в противном случае $x_i=0$. Тогда математическое ожидание случайной величины $K_n=\sum_{i=2}^n {x_i}$ равно:
$E[K_n]=\sum_{i=2}^n {C_k/\ln^k(i)}$. (7)

На основании (7) асимптотика математического ожидания случайной величины $K_n=\sum_{i=2}^n {x_i}$ при $n \to \infty$ равна:
$E[K_n] \sim C_k\int_{t=2}^n {dt/\ln^k(t)} \sim C_kn/\ln^k(n)$. (8)

Таким образом, выполняются условия утверждения 1 и на основании (8):
$K(n) \sim C\int_{t=2}^n {dt/\ln^k(t)}$.

Значения $C$ и $k$ - зависят от конкретной гипотезы о простых числах.

[vicvolf]

Понятно, что утверждение 1 будет справедливо, если в асимптотике отбросить конечное число первых членов суммы, т.е.
$K(n) \sim \sum_{i=b}^n {K(i)/i}$ (9)
при $K(i)=Ci/\ln^k(i)$ и $n \to \infty$, где $C$- действительная , а $b,k$ - натуральные постоянные.

В качестве примера указанного подхода определения асимптотики арифметической функции $K$ рассмотрим нахождение асимптотики количества простых близнецов, не превосходящих большое $N$.

На основании (7) и (9) математическое ожидание случайной величины $K_N$, в данном случае, равно:
$E[K_N]=\sum_{n=Q}^N{\frac{Q^2}{\varphi(Q)^2\ln^2(n)}}$. (10)

На основании Китайской теоремы об остатках существует $\prod_{3 \leq p \leq q}{(p-2)}$ классов вычетов по модулю $Q=\prod_{2 \leq p \leq q}{p}$, таких что $(n,Q)=1,(n+2,Q)=1$, поэтому учитывая (10) получим:
$E[K_N]=\sum_{n=Q}^N{\frac{Q^2}{\varphi(Q)^2\ln^2(n)}}=[N/Q]\prod_{2 \leq p \leq q}{(p-2)}\frac{Q^2}{\varphi(Q)^2\ln^2(n)}}$. (11)

Так как $\varphi(Q)=\varphi(\prod_{2 \leq p \leq q}{p})=\prod_{2 \leq p \leq q}{(p-1)}$, то на основании (11), получаем асимптотику математического ожидания случайной величины $K_N$ при $N \to \infty,q \to \infty$:
$E[K_N]=[N/Q]\prod_{2 \leq p \leq q}{(p-2)}\frac{Q^2}{\varphi(Q)^2\ln^2(n)}} \sim \frac{2N}{\ln^2(N)}\prod_{p \geq 3}\frac{p(p-2)}{(p-1)^2}$. (12)

На основании утверждения 1 асимптотика $K(N)$ также определяется по формуле (12).

[vicvolf]

Модель простых чисел Крамера-Ченда - это вероятностная модель, которая позволяет оценить асимптотику количества простых чисел и их комбинаций, таких как простые близнецы.

Предположения модели Крамера-Ченда:

1. Простые числа распределены "случайным" образом. Вероятность того, что случайно выбранное число $n$ является простым, приблизительно равна $1/\ln(n)$​.

2. Независимость. Модель предполагает, что простые числа "независимы" друг от друга в том смысле, например, что вероятность того, что два числа $n$ и $n+2$ оба являются простыми, равна произведению вероятностей для каждого из них.

3. Суммирование вероятностей. Чтобы оценить количество простых близнецов до некоторого числа $N$, мы суммируем вероятности для всех возможных пар $(n,n+2)$.​

В данном подходе я уточнил пункты 1 и 2 и обосновал уточненный вариант.

В п. 3 суммирование вероятностей производится потому, что находится математическое ожидание случайной величины - $E[K_N]$.

Основное - обоснован переход к асимптотике самой арифметической функции - $K(N) \sim E[K_N]$, если $K(N)=CN/\ln^k(N)$ при $N \to \infty$, т.е. от вероятностной модели к реальной.

[vicvolf]

Дам пояснения к данному подходу оценки распределения простых чисел поэтапно:

1. Не используются вероятностные модели и соответственно не делаются предположения 1, 2, 3.

2. Отмечу, что из теоремы о простых числах вероятность большого натурального числа $n$ быть простым примерно равна $1/\ln(n)$. Но это неверно для натуральных чисел кратных простым числам - $n=mq$ ($m$ -натуральное, $q$ - простое), так как данная вероятность равна 0. Поэтому данные числа превносят зависимость событий, о которой я говорил выше.

3. Для устранения этой ошибки мы просеиваем натуральные числа с помощью решета Эратосфена, удаляем числа кратные: $2,3,...,q$. В результате этой процедуры остаются только взаимно простые числа по модулю $Q=2 \cdot ...\cdot q$, которые образуют подмножество натуральных чисел $a_i \in A$, где $(a_i,Q)=1$ и при $a_i \to \infty$ получаем вероятность $P(a_i \in A) \sim \frac{Q}{\varphi(Q)\ln(a_i)}$.

4. Учитывая отсутствие натуральных чисел вида $n=mq$ получаем независимость событий $a_i \in A$, поэтому для $k$- кортежа $\{a_1,...,a_k\}$ получаем:
$P(a_1 \in A,...,a_k \in A)=P(a_1 \in A) \cdot.$$..\cdot P(a_k \in A) \sim \frac{Q^k}{\varphi(Q)^k\ln(a_1)...\ln(a_k)}$.

5. Вводим случайные величины Бернулли с вероятностью $p_a=\frac{Q^k}{\varphi(Q)^k\ln(a_1)...\ln(a_k)}$ и получаем математическое ожидание суммы данных случайных величин Бернулли:
$E[K_n]=\sum {p_a}=\sum {\frac{Q^k}{\varphi(Q)^k\ln(a_1)...\ln(a_k)}}$.

6. Находим асимптотику данного математического ожидания $E[K_n]$ при $n \to \infty, q \to \infty$ с использованием Китайской теоремы об остатках.

7. На основании утверждения 1 асимптотика арифметической функции $K(n) \sim E[K_n]$.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1664328 писал(а):

Гипотезы о количестве простых объектов на начальном интервале натурального ряда дают математическое ожидание суммы случайных величин Бернулли с вероятностью равной плотности соответствующих простых объектов, т.е. довольно отвлеченной случайной величины. Но что интересно - фактическое количество простых объектов, на начальном интервале натурального ряда, равно асимптотике математического ожидания именно данной случайной величины.

Я подсунул ИИ данную тему и эту фразу. Вот что он написал:
Эта формулировка представляет собой довольно точное и математически строгое описание подхода, предложенного в статье. Давайте разберем ее по частям:

1. **Гипотезы о количестве простых объектов**:
- Здесь под "простыми объектами" могут подразумеваться как простые числа, так и кортежи простых чисел (например, простые числа-близнецы, простые числа-кузены) или простые значения полиномов.

2. **Начальном интервале натурального ряда**:
- Это означает, что рассматривается не весь натуральный ряд, а его начальный отрезок, то есть числа от 1 до некоторого \( n \).

3. **Математическое ожидание суммы случайных величин Бернулли**:
- Случайные величины Бернулли — это величины, которые принимают значения 0 или 1 с определенной вероятностью. В данном случае вероятность успеха (значение 1) равна плотности соответствующих простых объектов на данном интервале.

4. **Вероятность равна плотности соответствующих простых объектов**:
- Плотность простых объектов на интервале определяется как отношение количества простых объектов к общему количеству чисел на этом интервале. Это значение используется как вероятность успеха в случайной величине Бернулли.

5. **Довольно отвлеченная случайная величина**:
- Это означает, что случайная величина, которая моделирует количество простых объектов, является теоретической конструкцией, основанной на вероятностных предположениях, а не на непосредственном наблюдении.

6. **Фактическое количество простых объектов равно асимптотике математического ожидания**:
- Это ключевой момент: несмотря на то, что случайная величина является теоретической, ее математическое ожидание асимптотически совпадает с фактическим количеством простых объектов на рассматриваемом интервале.

### Выводы:

Эта формулировка отражает центральную идею статьи: использование вероятностного подхода для моделирования распределения простых объектов (простых чисел, кортежей простых чисел, простых значений полиномов) на начальном интервале натурального ряда. При этом математическое ожидание случайной величины, построенной на основе плотности простых объектов, асимптотически совпадает с фактическим количеством этих объектов.

Такой подход позволяет не только оценить количество простых объектов, но и исследовать их распределение особенно в контексте гипотез Харди-Литтлвуда и Бейтмана-Хорна.