Вероятность про урну с нумерованными шарами

[mihaild]

Dmitriy40 в сообщении #1664179 писал(а):

То неизвестно потому что это будут флуктуации (вероятность которых считается по другому), да?

По крайней мере стандартная формулировка первой гипотезы Харди-Литлвуда ничего про это не говорит, да.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1664223 писал(а):

По крайней мере стандартная формулировка первой гипотезы Харди-Литлвуда ничего про это не говорит, да.

Гипотезы о количестве простых объектов на начальном интервале натурального ряда дают математическое ожидание суммы случайных величин Бернулли с вероятностью равной плотности соответствующих простых объектов, т.е. довольно отвлеченной случайной величины. Но что интересно - фактическое количество простых объектов, на начальном интервале натурального ряда, равно асимптотике математического ожидания именно данной случайной величины. Это показано в теме topic159204.html

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1664328 писал(а):

Но что интересно - фактическое количество простых объектов, на начальном интервале натурального ряда, равно асимптотике математического ожидания именно данной случайной величины. Это показано в теме topic159204.html

Только для достаточно большого начального интервала, на котором общее количество ожидаемых объектов намного больше аномального начального выброса в первых единицах интервала $[2,1000]$. Простите, но в этом интервале совершенно точно нет миллиардов кортежей из простых чисел, как выдаёт расчёт по первой гипотезе Харди-Литтлвуда. А случай когда кортежей становится триллионы на практике не интересен.
В данном же случае интересны ещё намного меньшие интервалы, где о равенстве количества асимптотике говорить вообще не приходится.
Кроме того, я недавно показал как реализовалась вероятность порядка $10^{-12}$! Вот уж флуктуация так флуктуация! О каком равенстве тут говорить ... А если поискать, то можно найти и ещё более невероятные случаи. Например симметричный кортеж 19-492 (19 простых чисел с разницей между крайними 492) был найден с расчётной вероятностью хуже 15 сигм или менее $10^{-50}$!! И мой вопрос фактически был именно о таких флуктуациях, а не об асимптотике где-то далеко за горизонтом (на десятки порядков дальше).

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1664371 писал(а):

А случай когда кортежей становится триллионы на практике не интересен.

Для Вашей задачи не интересен, но интересен для многих других задач распределения простых чисел в натуральном ряде.

[vicvolf]

(Оффтоп)

vicvolf в сообщении #1664328 писал(а):

Гипотезы о количестве простых объектов на начальном интервале натурального ряда дают математическое ожидание суммы случайных величин Бернулли с вероятностью равной плотности соответствующих простых объектов, т.е. довольно отвлеченной случайной величины. Но что интересно - фактическое количество простых объектов, на начальном интервале натурального ряда, равно асимптотике математического ожидания именно данной случайной величины. Это показано в теме topic159204.html

Я подсунул ИИ указанную выше тему и эту фразу. Вот что он написал:
Эта формулировка представляет собой довольно точное и математически строгое описание подхода, предложенного в статье. Давайте разберем ее по частям:

1. **Гипотезы о количестве простых объектов**:
- Здесь под "простыми объектами" могут подразумеваться как простые числа, так и кортежи простых чисел (например, простые числа-близнецы, простые числа-кузены) или простые значения полиномов.

2. **Начальном интервале натурального ряда**:
- Это означает, что рассматривается не весь натуральный ряд, а его начальный отрезок, то есть числа от 1 до некоторого \( n \).

3. **Математическое ожидание суммы случайных величин Бернулли**:
- Случайные величины Бернулли — это величины, которые принимают значения 0 или 1 с определенной вероятностью. В данном случае вероятность успеха (значение 1) равна плотности соответствующих простых объектов на данном интервале.

4. **Вероятность равна плотности соответствующих простых объектов**:
- Плотность простых объектов на интервале определяется как отношение количества простых объектов к общему количеству чисел на этом интервале. Это значение используется как вероятность успеха в случайной величине Бернулли.

5. **Довольно отвлеченная случайная величина**:
- Это означает, что случайная величина, которая моделирует количество простых объектов, является теоретической конструкцией, основанной на вероятностных предположениях, а не на непосредственном наблюдении.

6. **Фактическое количество простых объектов равно асимптотике математического ожидания**:
- Это ключевой момент: несмотря на то, что случайная величина является теоретической, ее математическое ожидание асимптотически совпадает с фактическим количеством простых объектов на рассматриваемом интервале.

### Выводы:

Эта формулировка отражает центральную идею статьи: использование вероятностного подхода для моделирования распределения простых объектов (простых чисел, кортежей простых чисел, простых значений полиномов) на начальном интервале натурального ряда. При этом математическое ожидание случайной величины, построенной на основе плотности простых объектов, асимптотически совпадает с фактическим количеством этих объектов.

Такой подход позволяет не только оценить количество простых объектов, но и исследовать их распределение особенно в контексте гипотез Харди-Литтлвуда и Бейтмана-Хорна.