Савченко 3.4.17*

[Toffy084]

Собственные частоты двойного маятника равны $\omega_1$ и $\omega_2$. Длина нити, связывающей шарики маятника, равна $l$. В состоянии равновесия нижнему шарику сообщили небольшую скорость $v$. Определите максимальное отклонение нижнего шарика от положения равновесия и длину нити, связывающей верхний шарик с потолком.


Помогите пожалуйста с решением данной задачи. Я уже очень много попыток её решения предпринял и никак не получается её решить. Всё, что я смог нарешать написал ниже. Очень попрошу не использовать при решении элементы теоретической механики- всё же эта задача находится в сборнике задач по общей физике, да и я теоретическую механику не знаю. Огромное спасибо всем, кто решит помочь. Вполне возможно эта информация будет полезна при решении- задача находится в разделе "сложение колебаний".

Пусть $m$- масса нижнего шарика, $M$-верхнего, $\varphi$ и $\varPhi$- их углы отклонения соответственно, $L$- длина верхней нити, $g$- ускорение с.п. Все косинусы малых углов в дальнейшем я аппроксимировал до единицы, а синусы и тангенсы- до значений угла. Движение шариков я считал плоским в плоскости, перпендикулярной вектору ускорения с.п, полное максимальное отклонение нижнего шарика $B_m$. Силы натяжение верхней и нижней нити при таком движении (пренебрегая величиной нормального ускорения) соответственно: $(M+m)g$, $mg$.

По второму закону Ньютона для каждого шарика: $-(M+m)g\varPhi+mg\varphi=ML\ddot{\varPhi}$, $-mg\varphi-mL\ddot{\varPhi}=ml\ddot{\varphi}$.
Если колебания маятника нормальные, то частоты колебаний маятников одинаковы и равны $\omega$. Дифференциальные уравнения колебаний для каждого шарика $\ddot{\varPhi}+\omega^2\varPhi=0$, $\ddot{\varphi}+\omega^2\varphi=0$.
Объединяя выражения я получил следующие уравнения: $-\omega^2+\frac{g}{L}\left(1+\frac{m}{M}\left(1-\frac{\varphi}{\varPhi}\right)\right)=0$, $-\omega^2+\frac{g}{l}\left(\frac{m}{M}+1\right)\left(1-\frac{\varPhi}{\varphi}\right)=0$.
Из этих выражений сначала выражаю отношение углов, после чего получаю квадратное уравнение относительно $\omega$, решение которого: $\omega=\sqrt{\frac{g}{2}\left(\frac{m}{M}+1\right)\left(\frac{1}{L}+\frac{1}{l}\right)\left(1 \pm \sqrt{1-\frac{4(M+2m)MLl}{(M+m)^2(L+l)^2}}\right)}$.
Благодаря теореме Виета из того квадратного уравнения очень легко получить длину верхней нити, ведь фактически, найденные корни и есть $\omega_1$ и $\omega_2$: $L=\frac{g^2}{l(\omega_1\omega_2)^2}\left(\frac{2m}{M}+1\right)$.
Далее нахожу отношение углов при нормальных колебаниях подстановкой собственных частот в второй закон Ньютона (в некоторой литературе этот коэффициент называли коэффициентом распространения амплитуд, надеюсь, ничего не путаю) $\zeta=\frac{\varPhi}{\varphi}$: $\zeta=\frac{1}{2}\left(\left(1-\frac{l}{L}\right) \mp \sqrt{1-\frac{4(M+2m)MLl}{(M+m)^2(L+l)^2}}\left(1+\frac{l}{L}\right)\right)$. Здесь верхнему знаку частот соответствует верхний знак коэффициента распространения амплитуд и наоборот соответственно.
Нормальные моды колебаний задаются формулами: $\xi=\varPhi-\zeta\varphi$.
Затем я выразил как меняется каждая мода со временем, выразил моды через скорость $v$ и коэффициенты распространения амплтуд, затем углы отклонения, а максимальное отклонение нижнего шарика представил как сумму отклонений верхнего и нижнего шарика от точки подвеса. Итоговая амплитуда нижнего шарика получилась: $B_m=\frac{v}{\zeta_2-\zeta_1}\left(\left(\frac{\zeta_1}{\omega_1}+\frac{\zeta_2}{\omega_2}\right)+\frac{L}{l}\zeta_1\zeta_2\left(\frac{1}{\omega_1}+\frac{1}{\omega_2}\right)\right)$.

В обоих ответах как видно фигурирует отношение масс, а сами массы не даны в условии задачи. Я дальше поэтому считал, что в этой системе при колебаниях наблюдаются биения, т.е. разность собственых частот колебаний очень мала, а самый минимум разности частот можно получить, если $m << M$, тогда можно получить правильный ответ для длины нити $L=\frac{g^2}{l(\omega_1\omega_2)^2}$, однако, тогда зануляется один из коэффициентов распространения амплитуд $\zeta_1=0$, $\zeta_2=1-\frac{l}{L}$. Ответ для амплитуды тогда, очевидно, получается совершенно неправильный: $B_m=\frac{v}{\omega_2}$.

Вот ответы из сборника (в них вполне могут быть опечатки, но в этом хотелось бы убедиться): $B_m=\frac{v\left(\omega_1+\omega_2\right)\left(l\left(\omega_1^2-\omega_1\omega_2+\omega_2^2\right)-g\right)}{\omega_1\omega_2\left(l\left(\omega_1^2+\omega_2^2\right)-2g\right)}$,$L=\frac{g^2}{l(\omega_1\omega_2)^2}$.

[drzewo]

(Оффтоп)

Toffy084 в сообщении #1663899 писал(а):

Очень попрошу не использовать при решении элементы теоретической механики-

Т.е. Вы к кому-то уже, видимо обращались, и Вам пробовали объяснить регулярный метод решения подобных задач... Но Ваша принципиальная позиция состоит в том, что бы решать задачи из весьма своеобразного задачника, а теоретические знания получать из <<некоторой литературы>>. Рад бы помочь, но увы.

[drzewo]

Надо, конечно, написать формулы, но не очень понятно почему априори квазипериодическая функция должна достигать максимума. Вот, например, разве

$$\cos t+\cos(\sqrt 2 t)$$

достигает максимума?

-- 07.12.2024, 11:29 --

Toffy084
скажите, а Вы про приведение пары форм к диагональному виду что-нибудь слышали?

[Toffy084]

drzewo
я искал хоть какие-то намёки на решение этой задачи в интернете, потому что сборник то известный. единственное, что нашёл - на этом форуме уже эту задачу уже спрашивали и там человек, который решил помочь использовал теоретическую механику для решения, но всё равно результат получился неверным.

-- 07.12.2024, 12:18 --

drzewo
максимум только один- при нуле, однако в других точках эта функция может сколь угодно близко к нему подобраться

-- 07.12.2024, 12:21 --

drzewo
в смысле записать коэффициенты в уравнениях в матрицу и привести её к диагональному виду? слышал и знаю, как это сделать, только не совсем понимаю, как это поможет

[drzewo]

Toffy084 в сообщении #1663935 писал(а):

я искал хоть какие-то намёки на решение этой задачи в интернете, потому что сборник то известный. единственное, что нашёл - на этом форуме уже эту задачу уже спрашивали и там человек, который решил помочь использовал теоретическую механику для решения, но всё равно результат получился неверным.

Это достаточно громоздкая задача, если ее решать регулярным методом (теор мех) то получится менее громоздко. Что касается, <<результат получился неверным>>
тут надо проверять у кого он неверный у Савченко или у этого человека.

Мы задачу о нахождении нормальных координат для малых колебаний двойного маятника студентам рассказываем, но это на семинарах по теормеху. Во всяком случае, я запрягаться решать эту задачу <<по школьному>>
не стану. Просто не вижу смысла в этом, извините.

Toffy084 в сообщении #1663935 писал(а):

максимум только один- при нуле, однако в других точках эта функция может сколь угодно близко к нему подобраться

Да, я неудачный пример привел, может быть так, что максимума ни одного не будет.

Toffy084 в сообщении #1663935 писал(а):

в смысле записать коэффициенты в уравнениях в матрицу и привести её к диагональному виду?

нет

[peregoudov]

Честно говоря, не очень понял, при чем тут теоретическая механика. Уравнения движения в линейном приближении автор темы записал верно. На этом, собственно, механика закончилась, началась математика. Дальше он, похоже, просто не знает, как решать систему уравнений. Toffy084, вы знаете, как найти собственные колебания системы с несколькими степенями свободы или нет?

И по поводу максимума не понял --- это какая-то чисто математическая заморочка? Смещение, очевидно, ограничено, что, верхней грани у него нет, пусть даже она и не достигается?

[drzewo]

peregoudov в сообщении #1663982 писал(а):

Уравнения движения в линейном приближении автор темы записал верно.

а Вы что выписывали точные уравнения а потом их линеаризовывали?

[Toffy084]

peregoudov
возможно я не знаю, как это делать правильно. во всех задачах из данного раздела в сборнике подобный поиск частот и мод сработал (во всех задачах получил правильные ответы и достаточно быстро и легко), кроме этой. если объясните, как это сделать более корректно буду очень благодарен

-- 07.12.2024, 18:53 --

peregoudov
не совсем понял, что Вы имеете ввиду под вашим выражением про максимум

[peregoudov]

drzewo в сообщении #1663986 писал(а):

а Вы что выписывали точные уравнения а потом их линеаризовывали?

Ну, во-первых, автор темы свой метод выписывания уравнений обосновал. Во-вторых, двойной маятник много где выписан, хоть в том же ЛЛ1. В-третьих, если уж возвращаться к теоретической механике, проще разложить лагранжиан до квадратичных членов, а потом уж составлять уравнения, которые заведомо будут линейными. В-четвертых, таки да, я это проверил. Там совсем не сложно, на самом деле.

Toffy084 в сообщении #1663989 писал(а):

возможно я не знаю, как это делать правильно

Ну, вы очень странно это делаете. Регулярный метод --- искать решение в виде суперпозиции собственных колебаний. А собственные колебания --- это такие движения, когда все координаты меняются гармонически с одной и той же частотой. Вот вы такое решение (с неизвестными пока частотой и амплитудами) подставляете в уравнения и находите, чему может быть равна частота и какие для этой частоты будут амплитуды. Конкретно в вашем случае подставляете

$$ \Phi(t)=ae^{i\omega t},\quad \phi(t)=be^{i\omega t}. $$

[drzewo]

peregoudov в сообщении #1664026 писал(а):

В-четвертых, таки да, я это проверил.

может стоит еще раз проверить:)

[peregoudov]

Ну проверьте, в чем проблема? Если у вас получится что-то отличное от написанного в стартовом сообщении --- тогда и будет повод для разговора.

[Toffy084]

peregoudov
я ведь тогда просто вместа свего коэффициента $\zeta$ получу просто $\frac{a}{b}$, разве нет? ответ вроде такой же итоговый будет..

[drzewo]

Проверил. Уравнения, вроде, правильные.

ЛЛ-1:

Откуда линеаризованная система имеет вид

$$(m_1+m_2)l_1\ddot\varphi_1+m_2l_2\ddot\varphi_2+(m_1+m_2)g\varphi_1=0; \quad l_2\ddot\varphi_2+l_1\ddot\varphi_1+g\varphi_2=0$$

-- 08.12.2024, 01:25 --

Хотя работать рационально с лагранжианом, а не с системой

[peregoudov]

Линеаризованные в ЛЛ1 тоже есть, в главе про малые колебания.

В общем, у меня пока получилось так

$$ L=\frac{g^2}{\omega_1^2\omega_2^2 l}(1+m/M),\quad B_m=\frac v{\omega_1+\omega_2}\frac{(g/l)((1+m/M)\omega_1\omega_2+\omega_1^2+\omega_2^2)-\omega_1^2\omega_2^2}{(g/l)(\omega_1^2+\omega_2^2)-\omega_1^2\omega_2^2}. $$

[Toffy084]

peregoudov
вау! это же можно получить из того, что я написал? что то очень похожее на правду при $m<<M$

я сейчас нашёл в своих вычислениях арифметическую ошибку (то, откуда у меня в формуле фигурирует удвоенная масса нижнего шарика, а не единичная).. господи, какой ужас. я сейчас получил для длины нити, как и у Вас. думаю, что в ближайшее время постараюсь найти и амплитуду.