Около замены переменных

[drzewo]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #1660806 писал(а):

склеенное из двух копий области $B$ по границе $\partial B$,

double of a manifold называется

Padawan в сообщении #1660806 писал(а):

Наверное, проще в качестве $V$ взять цилиндр $\overline B\times [0, 1]$. Да, под областью $B$ я уже понимаю произвольную ограниченную область $B\subset \mathbb R^n$ с гладкой границей.

Короче говороря, круг идей тот же самый. Только я взял и в лоб стал применять теоремы из теории топологической степени, а Вы, несколько более изящно использовали не готовые теоремы, а принципы на которых они основаны.

[drzewo]

любопытно какое решение ожидал Шапошников от второкурсников

[Padawan]

Еще одно решение (подходит для любой области $B\subset\mathbb R^n$ с гладкой границей).
Пусть $H(x)=F(x)-G(x)$, $H\mid_{\partial B}=0$. Рассмотрим для $t\in[0,1]$ рассмотрим отображения $G(x)+tH(x)\colon B\to\mathbb R^n$. Покажем, что $I(t)=\int_B \det (G'(x)+tH'(x))dx=\operatorname{const}$. При этом $I(0)=\int_B\det G'(x)dx$, $I(1)=\int_B\det F'(x) dx$.
Рассмотрим семейство дифференциальным форм $n$-форм $\omega_t=d(g_1(x)+th_1(x))\wedge\ldots\wedge d(g_n(x)+th_n(x))$, $t\in[0,1]$, где $G=(g_1,\ldots, g_n)$, $H=(h_1,\ldots, h_n)$.
Заметим, что $I(t)=\int_B\omega_t$, и

$$ \frac{d}{dt}\omega_t=\sum\limits_{i=1}^n d(g_1(x)+th_1(x))\wedge\ldots\wedge dh_i(x)\wedge\ldots\wedge d(g_n(x)+th_n(x))= $$ $$ =\sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i-1}d\left\Big(d(g_1(x)+th_1(x))\wedge\ldots\wedge h_i(x)\wedge\ldots\wedge d(g_n(x)+th_n(x))\right\Big) $$

Тогда

$$ I'(t)=\frac{d}{dt}\int_B\omega_t=\int_B\frac{d}{dt}\omega_t=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\int_B d\left\Big(d(g_1(x)+th_1(x))\wedge\ldots\wedge h_i(x)\wedge\ldots\wedge d(g_n(x)+th_n(x))\right\Big)= $$

$$ =\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\int_{\partial B} d(g_1(x)+th_1(x))\wedge\ldots\wedge h_i(x)\wedge\ldots\wedge d(g_n(x)+th_n(x))=0 $$

так как $h_i(x)=0$ на $\partial B$.

-- Ср ноя 27, 2024 12:07:07 --

Придумать это решение помог ИИ chat.deepseek.com

Padawan в сообщении #1662880 писал(а):

читая его рассуждения, я нашёл новое решение этой задачи, которого раньше не знал, и оно мне нравится больше, чем приведённые решения в той теме.