Помогите вычислить сумму ряда с помощью гамма функции

[DariaRychenkova]

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1} {( 3 n+1 ) ( 3 n )} $$

Вот такой ряд.

Я понимаю, что он равен:

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{l n} x} {e^{x}} \, d x + \int_{0}^{1} \frac{(1-x^{1/3})\mathrm{d} x} {1-x} $$

По формуле для дигамма функции:

$$ \psi( z+1 ) ~=~-\gamma+\int_{0}^{1} ~ ~ \frac{1-x^{z}} {1-x} ~ d x $$

А дальше у меня пока нет идей, как интеграл посчитать второй.

Подскажите, пожалуйста

[amon]

DariaRychenkova в сообщении #1662015 писал(а):

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1} {( 3 n+1 ) ( 3 n )} $$

Вот

А то, что при $n=0$ беда полная Вас не смущает?

[Утундрий]

С единицы, наверное.

[DariaRychenkova]

Утундрий

Да
Точно

-- 19.11.2024, 14:35 --

amon

Исправила

[Утундрий]

У меня получилось, что эта сумма равна

$$ -\frac 1 3 \int_{0}^{1} \ln (1-x^3) d x $$

[DariaRychenkova]

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3n} - \frac{1}{3n+1} \right). $$

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{1} x^{3n} , dx = \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{\infty} x^{3n} , dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{1-x^3} , dx, $$

$$ \sum_{n=0}^{\infty} x^{3n} = \frac{1}{1-x^3}. $$

$$ \int_{0}^{1} \frac{1}{1-x^3} , dx. $$

$$ x^3 = t \implies dx = \frac{1}{3} t^{-2/3} , dt. $$

Пределы интегрирования будут от $0$ до $1$:

$$ \int_0^1 \frac{1}{1-t} \cdot \frac{1}{3} t^{-2/3} , dt = \frac{1}{3} \int_0^1 \frac{t^{-2/3}}{1-t} , dt. $$

$$ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} , dt. $$

$$ B(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) = \frac{\Gamma(\frac{1}{3}) \Gamma(\frac{2}{3})}{\Gamma(1)}, $$

$$ \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{1} {( 3 n+1 ) ( 3 n )}} = B\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right) \Gamma\left(\frac{2}{3}\right)}{1}. $$

$$ \Gamma\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)}{\frac{1}{3}}. $$

$$ \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{1} {( 3 n+1 ) ( 3 n )}} = \frac{1}{3} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right) \Gamma\left(\frac{2}{3}\right). $$

$$ \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{1} {( 3 n+1 ) ( 3 n )}} = \frac{1}{3} \cdot \Gamma\left(\frac{1}{3}\right) \cdot \Gamma\left(\frac{2}{3}\right). $$

-- 19.11.2024, 14:56 --

Утундрий

Похоже на Ваш ответ

-- 19.11.2024, 14:57 --

Коэффициент 1/3 есть

-- 19.11.2024, 15:02 --

Если как у меня, то дальше тригонометрическая формула сработает

-- 19.11.2024, 15:02 --

Если как у меня, то дальше тригонометрическая формула сработает

-- 19.11.2024, 15:05 --

$$ \frac{2 \pi\sqrt{3}} {9} $$

Где я ошибаюсь?

[Утундрий]

DariaRychenkova в сообщении #1662032 писал(а):

Где я ошибаюсь?

Здесь:

DariaRychenkova в сообщении #1662032 писал(а):

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3n} - \frac{1}{3n+1} \right). $$

Разбивать сходящуюся сумму в разность расходящихся — плохая идея.

[nnosipov]

Утундрий в сообщении #1662042 писал(а):

Разбивать сходящуюся сумму в разность расходящихся — плохая идея.

Да нормальная идея, просто нужно работать с частичными суммами (асимптотика их известна).

[Утундрий]

Хотя, это может быть такое требование к решению...

[nnosipov]

Собственно, все уже подсчитано: https://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function (раздел "Evaluation of sums of rational functions").