Вероятность про урну с нумерованными шарами

[vicvolf]

mihaild Спасибо.
Хотел бы уточнить вопрос в отношении мат. ожидания для первой гипотезы Харди-Литтлвуда, которое я имел в виду.
Как я уже писал, количество простых кортежей, не превосходящих натуральное $n$ - $K(n)$ является арифметической функцией. Поэтому на $n$-ом вероятностном пространстве, построенном на начальном интервале натурального ряда, ему соответствует равновероятная случайная величина со значениями: $K(1),K(2),...,K(n)$. Рассмотрим также вероятности на пространствах от 1 до $n$: $p_1=K(1)/1,p_2=K(2)/2,...,p_n=K(n)/n$.
На другом вероятностном пространстве построим случайную величину, равную сумме случайных Бернулли $K_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$, с указанными вероятностями:$p_1,p_2,...,p_n$.
Известно, что математическое ожидание данной случайной величины равно $E(K_n)= \sum_{i=1}^n {p_i}=\sum_{i=1}^n {K(i)/i}$.
Поставим вопрос, когда $K(n)$ асимптотически равно данному мат. ожиданию, т.е. выполняется $K(n) \sim E(K_n)=\sum_{i=1}^n {K(i)/i}$?
Таким случаем является $K(n)=Cn/\ln^k(n)$, так как $\sum_{i=1}^n{1/\ln^k(i)} \sim Cn/\ln^k(n)$. Это как раз подходит для первой гипотезы Харди-Литтлвуда. Также это выполняется для других подмножеств натурального ряда, содержащих бесконечное количество простых чисел. Например, для количества простых чисел на интервале натурального ряда, в арифметической прогрессии или в полиноме.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1661828 писал(а):

выполняется $K(n) \sim E(K_n)=\sum_{i=1}^n {K(i)/i}$?

Это можно записать как $K(n) \cdot (1 + h(n)) = \sum\limits\frac_{i=1}^n \frac{K(i)}{i}$, где $h(n) = o(1)$. Т.е. $K(n) \cdot (1 + h(n)) - K(n - 1)\cdot(1 + h(n - 1)) = \frac{K(n)}{n}$. Или $K(n) = K(n - 1) \cdot \frac{1 + h(n - 1)}{1 - 1/n + h(n)}$. Вроде бы это эквивалентно $\frac{K(n)}{K(n - 1)} \to 1$ (в одну сторону очевидно, в другую чуть-чуть расписать надо).

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1661881 писал(а):

$\frac{K(n)}{K(n - 1)} \to 1$

Этому условию удовлетворяет любая монотонная возрастающая функция. Следовательно, любая $K(n)$. Но это не так. Например не подходит функции: $\ln^{k}(n), n^{1-\epsilon}$.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1661894 писал(а):

Этому условию удовлетворяет любая монотонная возрастающая функция

Нет, $K(n) = \exp(n)$ не удовлетворяет. Но да, у меня где-то константный множитель потерялся, потому что для $K(n) = \sqrt{n}$ нужно сумму умножить на $2$.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1661897 писал(а):

$K(n) = \exp(n)$

$1 \leq K(n) \leq n$. Так как $K(n)$ монотонно возрастает, то $K(n)/n$ - монотонно убывает, поэтому $\sum_{i=1}^n {K(i)/i}=\int_{t=1}^n {\frac{K(t)dt}{t}}+O(1)$.
С другой стороны $\sum_{i=1}^{\infty}{K(i)/i} \geq \sum_{i=1}^{\infty}{1/i}$, поэтому расходится. Учитывая это асимптотика $\sum_{i=1}^n {K(i)/i}$ не изменится при отбрасывании конечного числа первых членов.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1662002 писал(а):

Так как $K(n)$ монотонно возрастает, то $K(n)/n$ - монотонно убывает

Нет. $K(n)$ может, например, меняться между $n / 2$ и $n$.

$$K(n) = K(n - 1) \cdot \frac{1 + h(n - 1)}{1 - 1/n + h(n)}$$

$$\frac{K(n)}{K(n - 1)} \cdot \left(1 - 1/n + h(n)\right) = 1 + h(n - 1)$$

$$h(n) = \frac{K(n - 1)}{K(n)} \cdot (1 + h(n - 1)) - 1 + 1/n = \frac{K(n - 1)}{K(n)} - 1 + \frac{K(n - 1)}{K(n)} h(n - 1) + 1/n$$

Обозначим $g(n) = \frac{K(n - 1)}{K(n)} - 1 + 1/n$ (так что для случая когда равенство не просто асимптотическое а точное, $K(n) = n$, $g(n) = 0$.

$$h(n) = g(n) + (g(n) + 1 - 1/n) \cdot h(n - 1)$$

Как-то ни во что хорошее не сворачивается.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1662052 писал(а):

vicvolf в сообщении #1662002 писал(а):

Так как $K(n)$ монотонно возрастает, то $K(n)/n$ - монотонно убывает

Нет. $K(n)$ может, например, меняться между $n / 2$ и $n$.

Не понял. $K(n)$ - количество простых кортежей, не превосходящих $n$. $K(n)=\sum_{i=1}^n {1_A(i))$, где $1_A(i)$ - функция индикатор. $K(n)$ всегда монотонно возрастает.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1662065 писал(а):

Не понял. $K(n)$ - количество простых кортежей, не превосходящих $n$

Во-первых, нехорошо переключаться между произвольной арифметической функцией и конкретной.
Во-вторых, посмотрите, что будет, если $A = \cup_k [(2k)!, (2k + 1)!]$. При $n = (2k)!$ будет $\frac{K(n)}{n} \approx 0$, а при $n = (2k + 1)!$ - $\frac{K(n)}{n} \approx 1$.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1662068 писал(а):

посмотрите, что будет, если $A = \cup_k [(2k)!, (2k + 1)!]$. При $n = (2k)!$ будет $\frac{K(n)}{n} \approx 0$, а при $n = (2k + 1)!$ - $\frac{K(n)}{n} \approx 1$.

Спасибо, за пример. Но меня интересуют конкретные $K(n)$, которые я приводил ранее. Они являются монотонно возрастающими.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1662071 писал(а):

Но меня интересуют конкретные $K(n)$, которые я приводил ранее

Возрастающими или неубывающими?
Мой пример является неубывающим. А монотонно возрастающая арифметическая функция, принимающая неотрицательные значения, всего одна :)

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1662077 писал(а):

Возрастающими или неубывающими?

Неубывающие.