Является ли параллелограмм трапецией?

[agua]

Добрый день, коллеги! При изучении темы "Трапеция" в 8 классе возник вопрос: является ли параллелограмм трапецией (и почему). В определении сказано: "трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны", "параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны" – т.е. у параллелограмма имеется пара параллельных сторон (как и у трапеции), но у него есть и вторая пара параллельных сторон, что, в свою очередь, мешает ему считаться трапецией (согласно приведённому выше определению из учебника). Это вызвало некоторое недопонимание и вопросы, почему было выбрано именно такое определение трапеции.

Возьмём равнобедренную трапецию ABCD и будем поворачивать её боковую сторону CD вокруг вершины С, пока она не совпадёт с отрезком CF||AB. Тогда для E ∈ FD и G ∈ AF получается, что ABCE – трапеция, ABCG – трапеция, а ABCF почему-то не трапеция. Возможно, есть источники, в которых трапеция определяется как "четырехугольник, у которого по меньшей мере две стороны параллельны" – такое определение трапеции было бы вполне естественным. Все свойства и теоремы, справедливые для произвольной трапеции, взятой в общем виде, очевидно, справедливы также и для параллелограмма, поэтому не совсем понятно, почему он явным образом исключается из класса трапеций.

[Утундрий]

Возьмём эллипс и начнём его сжимать вдоль большей полуоси. Вот он эллипс, пока ещё эллипс, всё ещё эллипс... И вдруг, — бац! — круг! А потом обратно назад эллипс. Но ведь все свойства и теоремы, справедливые для произвольного эллипса, взятого в общем виде, очевидно, справедливы также и для круга, поэтому не совсем понятно, почему он явным образом исключается из класса эллипсов.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: по назначению.

[iifat]

agua в сообщении #1661593 писал(а):

вопросы, почему было выбрано именно такое определение трапеции

Ну, во-первых, «часто в определении трапеции опускают последнее условие»: «Существует и другое определение трапеции. Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции»
Вообще, на вопрос, почему выбрано именно такое определение, существует единственный ответ: потому что так захотел автор. И единственное к нему требование — в рамках книги, статьи, связного текста придерживаться изложенных определений.

[Mihr]

agua в сообщении #1661593 писал(а):

Все свойства и теоремы, справедливые для произвольной трапеции, взятой в общем виде, очевидно, справедливы также и для параллелограмма,

Я полагаю, нет. Если принять Ваше определение

agua в сообщении #1661593 писал(а):

трапеция определяется как "четырехугольник, у которого по меньшей мере две стороны параллельны"

то параллелограмм придется признать равнобедренной трапецией. Однако вокруг любой равнобедренной трапеции можно описать окружность, а вокруг параллелограмма (отличного от прямоугольника) - нет.

-- 16.11.2024, 12:00 --

Вот ещё одно соображение методического характера. В ряде школьных задач "на трапецию" бывает удобно достроить трапецию до треугольника, продлив боковые стороны до пересечения, и затем рассматривать трапецию как часть этого треугольника. Решение некоторых задач при этом неплохо проясняется. Очевидно, с параллелограммом подобный прием не прокатит. Так что, думаю, методически целесообразно рассматривать параллелограмм отдельно, не как частный случай трапеции.

[iifat]

Mihr в сообщении #1661603 писал(а):

параллелограмм придется признать равнобедренной трапецией

Совершенно необязательно. Не хочу сюда копировать весь список возможных определений равнобедренной трапеции числом полтора (или два?) десятка вариантов, но среди них присутствуют «прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна им» и «равенство внутренних углов при одном из оснований»

[Mihr]

iifat в сообщении #1661615 писал(а):

Не хочу сюда копировать весь список возможных определений равнобедренной трапеции числом полтора (или два?) десятка вариантов

Правильно, лучше не надо. В школе следует использовать простые, прозрачные определения. Когда кто-нибудь определяет параллелограмм как "четырехугольник, имеющий центр симметрии", я не могу к этому относиться иначе чем как к желанию быть "оригинальным". Само название "параллелограмм" указывает на его ключевое свойство - параллельность сторон. И не надо путать школьника.
Если для школьника определить равнобедренную трапецию не как трапецию с равными боковыми сторонами, а как-то иначе, - это, опять же, выглядит как попытка запутать его. Ну ни к чему это. Лучше просто не называть параллелограмм трапецией, и всё.

[TOTAL]

Я обнаружил, что две противоположные стороны четырёхугольника параллельны. Имею право называть трапецией?

[drzewo]

Вырожденные случаи всегда удобно рассматривать отдельно. Мне нравится аргументация Mihr

[TOTAL]

Правильный треугольник тогда тоже не треугольник, т.к. для него не определена прямая, проходящая через барицентр и ортоцентр.

[Mihr]

TOTAL в сообщении #1661623 писал(а):

для него не определена прямая, проходящая через барицентр и ортоцентр

Вот это как раз школьнику "до лампочки". Он (обычно) не знает ни барицентра, ни ортоцентра. А тот, который знает, наверняка и в свойствах параллелограмма/трапеции не запутается.

[TOTAL]

Зачем школьнику достраивать трапецию до треугольника, когда боковые стороны трапеции параллельны?

[Утундрий]

Вопрос, знакомы ли обсуждаемые абстрактные школьники с суровой комбинаторной идеей классификации на основе ряда бинарных признаков?

[Mihr]

TOTAL в сообщении #1661626 писал(а):

Зачем школьнику достраивать трапецию до треугольника, когда боковые стороны трапеции параллельны?

Незачем, конечно. Очевидно, что такого треугольника просто не существует, а значит, и соответствующий пример подобрать нельзя. Но вот при рассмотрении трапеции её достраивание до треугольника - вполне обычный приём. Так ведь я как раз и говорю о том, что приёмы, используемые при решении задач, связанных с параллелограммом или с трапецией, - различны. Зачем же их тогда рассматривать вместе?
Впрочем, по большому счёту, всё это пустое. Если кому-то нравится называть параллелограмм трапецией - называйте на здоровье. Непонятно, правда, какие преимущества это даёт. Мне кажется: абсолютно никаких. Зато возможность некоторой путаницы тут же возникает.
Поэтому я решительно не советую использовать подобную терминологию тем преподавателям, кто готовит школьников к экзаменам. Хоть в 9-м, хоть в 11-м классах. Вы можете оказать своим подопечным медвежью услугу. За что они вам потом уж точно "спасибо" не скажут.

[BVR]

В школьном учебнике Александрова А. Д. как раз дается определение трапеции как четырехугольника с двумя параллельными сторонами. И, вроде, он там и говорит, параллелограмм - частный случай трапеции. Но это может привести к "утяжелению" формулировок теорем. То есть придется добавлять уточняющие слова, типа "Если трапецию, не являющуюся параллелограммом....."