Трехмерные сечения четырехмерных объектов.

[Lehastyi]

Как известно, на чертежах плоские сечения трехмерных объектов (например деталей ) дополнительно обозначаются стрелками направления. То есть может быть два варианта изображения одного и того же сечения в зависимости от направления стрелок.
Теперь представим , что деталь четырехмерная и имеется ее трехмерное сечение. Будет ли в этом случае иметь место аналогия со стрелками как в предыдущем случае?

[drzewo]

Думаю, что будет. Стрелки перпендикулярны плоскости сечения. В четырехмерном пространстве перпендикулярное направление к трехмерной плоскости определяется однозначно.

[Утундрий]

Lehastyi в сообщении #1661203 писал(а):

представим , что деталь четырехмерная и имеется ее трехмерное сечение. Будет ли в этом случае иметь место аналогия со стрелками как в предыдущем случае?

Поскольку коразмерность здесь — один, как и в предыдущем случае, то — будет.

[Lehastyi]

Таким образом , как я понял , по прежнему будем иметь два трехмерных изображения в зависимости от направления стрелок ?

[Утундрий]

Да.

[Lehastyi]

Понятно. Но тут у меня возникает некоторая проблема с пониманием того, в чем будет заключаться отличие этих двух вариантов трехмерных сечений друг от друга? Для двумерных сечений понятное дело проблем с пониманием нет, а вот для трехмерных ? Моей фантазии что то не хватает.

[Утундрий]

Начнём с нульмерных сечений одномерных объектов. В этом случае всё понятно?

[Mikhail_K]

Lehastyi в сообщении #1661212 писал(а):

Но тут у меня возникает некоторая проблема с пониманием того, в чем будет заключаться отличие этих двух вариантов трехмерных сечений друг от друга?

А сформулируйте, чем отличаются "два варианта двумерного сечения". Так же будет и с трёхмерными.

[Утундрий]

Вангую десять страниц объяснений тривиального факта, что ежели секущая поверхность является гиперповерхностью, то взглядов на секомое ровно два.

[Deathrose]

Утундрий в сообщении #1661219 писал(а):

Вангую десять страниц объяснений тривиального факта, что ежели секущая поверхность является гиперповерхностью, то взглядов на секомое ровно два.

Ну, не всегда, даже если поверхность сама замкнутая и ориентируемая. Нужна двустороннесть, а это все же не для каждой гипереоверхности выполнено.

-- 11.11.2024, 23:37 --

Впрочем, именно в $\mathbb{R}^n$ это так, но если объемлющее пространство другое, то может быть как выше написал.

[sergey zhukov]

Lehastyi
А что, двумерные сечения "спереди" и "сзади" чем-то отличаются? Разе что тем, что одно правое, а другое - левое. Тем же будут отличаться и трехмерные сечения. Только чтобы посмотреть сечение "с другой стороны", нужно "перевернуться" в трехмерном пространстве. По аналоги с двумерными существами, которые ориентированы определенным образом в своем двумерном мире и должны "перевернуться", чтобы увидеть сечение трехмерного объекта с обратной стороны. Т.е. если они живут на ленте Мебиуса, то должны обойти ее по кругу.

[Lehastyi]

Утундрий в сообщении #1661217 писал(а):

Начнём с нульмерных сечений одномерных объектов. В этом случае всё понятно?

Полагаю, в этом случае в обеих случаях будет математическая точка, то есть различий никаких.

-- 12.11.2024, 19:11 --

Mikhail_K в сообщении #1661218 писал(а):

А сформулируйте, чем отличаются "два варианта двумерного сечения". Так же будет и с трёхмерными.

Отличаются. Вот я положил на стол два варианта двумерного сечения в виде буквы "Р". Как я их не кручу-верчу в плоскости стола, одинаковыми они быть почему то не хотят.

[Mikhail_K]

Lehastyi в сообщении #1661286 писал(а):

Отличаются. Вот я положил на стол два варианта двумерного сечения в виде буквы "Р". Как я их не кручу-верчу в плоскости стола, одинаковыми они быть почему то не хотят.

Я не говорил, что не отличаются.
Я сказал: сформулируйте, чем именно они отличаются.

[Lehastyi]

Mikhail_K в сообщении #1661308 писал(а):

Lehastyi в сообщении #1661286 писал(а):

Отличаются. Вот я положил на стол два варианта двумерного сечения в виде буквы "Р". Как я их не кручу-верчу в плоскости стола, одинаковыми они быть почему то не хотят.

Я не говорил, что не отличаются.
Я сказал: сформулируйте, чем именно они отличаются.

Зеркальной ассимметрией.

[Mikhail_K]

Lehastyi
Так же будут отличаться и трёхмерные сечения четырёхмерных фигур.

Если мы в трёхмерном пространстве сначала смотрели на фигуру с одной стороны, а потом стали смотреть с другой - значит, мы повернулись на 180 градусов.
Поворот - это линейное преобразование трёхмерного пространства, сохраняющее длины и ориентацию пространства. Оно задаётся ортогональной матрицей с определителем, равным $1$. Наш рассматриваемый поворот переводит вектор на оси "взгляда" в противоположный (умножает на собственное значение $-1$ - это и значит, что мы стали смотреть с другой стороны), а плоскость сечения переводит в себя (т.е. мы смотрим на ту же самую плоскость). Определитель матрицы преобразования равен произведению трёх собственных значений, он положителен, одно из собственных значений $-1$, поэтому произведение двух других должно быть отрицательным. Но оно как раз равно определителю сужения этого преобразования на плоскость сечения. Этот определитель отрицателен, значит, преобразование (линейное и сохраняющее длины, так же как и исходное) есть зеркальное отражение.

Относительно какого "зеркала" будет зеркальное отражение - зависит от того, как именно мы повернулись на 180 градусов.

С трёхмерными сечениями в четырёхмерном пространстве всё ровно так же.