Задача на принцип максимума модуля

[MBJ]

Доброго всем времени суток!
Задали вот такую задачу:

Пусть $G \subset \mathbb{C}$ - область, а $f: G \to \mathbb{C} $ - голоморфная, неконстантная в $G $ функция. Докажите, что $g(z) = (\operatorname{Re} f(z))^{2024} + (\operatorname{Im} f(z) )^{2024} $ не достигает своего максимума на $G $.


Понятно, что задача на принцип максимума модуля. Попробовал несколько подходов: Рассмотрев $e^{f(z)} $ и $e^{-if(z)} $ можно легко показать, что $| \operatorname{Re} f(z)| $ и $| \operatorname{Im} f(z)| $ не достигают своего максимума в $G $. Отсюда, конечно же, следует, что любая гармоническая (двумерная) функция будет тоже удовлетворять принципу максимума. Проверил для $g(z)$ - в общем случае она не гармоническая. Затем попробовал как-то получить противоречие из того, что $g(x+iy) := g(x,y) $ принимает этот максимум (из положительной полуопределенности гессиана) - тоже не вышло. Как-то по-умному выразить $g(z)$ через $ (\operatorname{Re} f(z))^{2} + (\operatorname{Im} f(z) )^{2} = |f(z)|^2 $ тоже не выходит, да и не думаю, что задача на это.

[drzewo]

а это часом не субгармоническая функция?

[MBJ]

И правда, лапласиан больше 0. Нам (пока) про субгармонические ничего не рассказали, но попробую из этого что-то собрать. Спасибо!

[drzewo]

Для субгармонических функций тоже есть принцип максимума

[MBJ]

Как верно указали выше, такая функция субгармоническая и для нее выполняется принцип максимума. Меня еще вот такая мысля посетила: Рассмотрим отображение $\psi (x,y) : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $, которое задано как $\psi (x,y) = x^{2024} + y^{2024} $. Очевидно, такая функция не имеет локальных (и глобальных) максимумов (единственная точка, где $\nabla \psi (x,y) = 0$ это $(x,y)= (0,0)$ и там, очевидно, глобальный минимум). Соответственно, на всяком открытом множестве она не может принимать максимальное значение (иначе в такой точке был бы локальный максимум). Т.к по теореме об открытом отображении $\Psi(x,y) : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $, заданная через $\Psi(x,y) = ( \operatorname{Re}(x, y) , \operatorname{Im} (x,y) ) ^\top $ - открытое отображение, образ $\Psi(G)$ (где $G$ рассматриваем как подмножество $\mathbb{R}^2$ ) - открыт, и $\psi(x,y)$ на нем не может принимать максимума.
Поправьте пожалуйста, если не прав

[nnosipov]

MBJ в сообщении #1660673 писал(а):

Поправьте пожалуйста, если не прав

По-моему, все в порядке. А откуда задача?

[MBJ]

Из одного немецкого учебника) Не знаю, есть ли перевод, но в оригинале - вот ссылка на libgen: https://libgen.is/book/index.php?md5=83 ... 3E60362926