2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на принцип максимума модуля
Сообщение04.11.2024, 21:28 


04/11/24
4
Доброго всем времени суток!
Задали вот такую задачу:

Пусть $G \subset \mathbb{C}$ - область, а $f: G \to \mathbb{C} $ - голоморфная, неконстантная в $G $ функция. Докажите, что $g(z) = (\operatorname{Re} f(z))^{2024} + (\operatorname{Im} f(z) )^{2024} $ не достигает своего максимума на $G $.


Понятно, что задача на принцип максимума модуля. Попробовал несколько подходов: Рассмотрев $e^{f(z)} $ и $e^{-if(z)} $ можно легко показать, что $| \operatorname{Re} f(z)| $ и $| \operatorname{Im} f(z)| $ не достигают своего максимума в $G $. Отсюда, конечно же, следует, что любая гармоническая (двумерная) функция будет тоже удовлетворять принципу максимума. Проверил для $g(z)$ - в общем случае она не гармоническая. Затем попробовал как-то получить противоречие из того, что $g(x+iy) := g(x,y) $ принимает этот максимум (из положительной полуопределенности гессиана) - тоже не вышло. Как-то по-умному выразить $g(z)$ через $ (\operatorname{Re} f(z))^{2} + (\operatorname{Im} f(z) )^{2} = |f(z)|^2 $ тоже не выходит, да и не думаю, что задача на это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на принцип максимума модуля
Сообщение04.11.2024, 21:37 


21/12/16
1439
а это часом не субгармоническая функция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на принцип максимума модуля
Сообщение04.11.2024, 21:44 


04/11/24
4
И правда, лапласиан больше 0. Нам (пока) про субгармонические ничего не рассказали, но попробую из этого что-то собрать. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на принцип максимума модуля
Сообщение04.11.2024, 21:45 


21/12/16
1439
Для субгармонических функций тоже есть принцип максимума

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на принцип максимума модуля
Сообщение04.11.2024, 22:55 


04/11/24
4
Как верно указали выше, такая функция субгармоническая и для нее выполняется принцип максимума. Меня еще вот такая мысля посетила: Рассмотрим отображение $\psi (x,y) : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $, которое задано как $\psi (x,y) = x^{2024} + y^{2024} $. Очевидно, такая функция не имеет локальных (и глобальных) максимумов (единственная точка, где $\nabla \psi (x,y)  = 0$ это $(x,y)= (0,0)$ и там, очевидно, глобальный минимум). Соответственно, на всяком открытом множестве она не может принимать максимальное значение (иначе в такой точке был бы локальный максимум). Т.к по теореме об открытом отображении $\Psi(x,y) : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $, заданная через $\Psi(x,y)  = ( \operatorname{Re}(x, y) , \operatorname{Im} (x,y) ) ^\top $ - открытое отображение, образ $\Psi(G)$ (где $G$ рассматриваем как подмножество $\mathbb{R}^2$ ) - открыт, и $\psi(x,y)$ на нем не может принимать максимума.
Поправьте пожалуйста, если не прав

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на принцип максимума модуля
Сообщение05.11.2024, 19:45 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
MBJ в сообщении #1660673 писал(а):
Поправьте пожалуйста, если не прав
По-моему, все в порядке. А откуда задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на принцип максимума модуля
Сообщение06.11.2024, 21:06 


04/11/24
4
Из одного немецкого учебника) Не знаю, есть ли перевод, но в оригинале - вот ссылка на libgen: https://libgen.is/book/index.php?md5=83 ... 3E60362926

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group