Доброго всем времени суток!
Задали вот такую задачу:
Пусть
- область, а
- голоморфная, неконстантная в
функция. Докажите, что
не достигает своего максимума на
.
Понятно, что задача на принцип максимума модуля. Попробовал несколько подходов: Рассмотрев
и
можно легко показать, что
и
не достигают своего максимума в
. Отсюда, конечно же, следует, что любая гармоническая (двумерная) функция будет тоже удовлетворять принципу максимума. Проверил для
- в общем случае она не гармоническая. Затем попробовал как-то получить противоречие из того, что
принимает этот максимум (из положительной полуопределенности гессиана) - тоже не вышло. Как-то по-умному выразить
через
тоже не выходит, да и не думаю, что задача на это.