2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на принцип максимума модуля
Сообщение04.11.2024, 21:28 


04/11/24
3
Доброго всем времени суток!
Задали вот такую задачу:

Пусть $G \subset \mathbb{C}$ - область, а $f: G \to \mathbb{C} $ - голоморфная, неконстантная в $G $ функция. Докажите, что $g(z) = (\operatorname{Re} f(z))^{2024} + (\operatorname{Im} f(z) )^{2024} $ не достигает своего максимума на $G $.


Понятно, что задача на принцип максимума модуля. Попробовал несколько подходов: Рассмотрев $e^{f(z)} $ и $e^{-if(z)} $ можно легко показать, что $| \operatorname{Re} f(z)| $ и $| \operatorname{Im} f(z)| $ не достигают своего максимума в $G $. Отсюда, конечно же, следует, что любая гармоническая (двумерная) функция будет тоже удовлетворять принципу максимума. Проверил для $g(z)$ - в общем случае она не гармоническая. Затем попробовал как-то получить противоречие из того, что $g(x+iy) := g(x,y) $ принимает этот максимум (из положительной полуопределенности гессиана) - тоже не вышло. Как-то по-умному выразить $g(z)$ через $ (\operatorname{Re} f(z))^{2} + (\operatorname{Im} f(z) )^{2} = |f(z)|^2 $ тоже не выходит, да и не думаю, что задача на это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на принцип максимума модуля
Сообщение04.11.2024, 21:37 


21/12/16
721
а это часом не субгармоническая функция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на принцип максимума модуля
Сообщение04.11.2024, 21:44 


04/11/24
3
И правда, лапласиан больше 0. Нам (пока) про субгармонические ничего не рассказали, но попробую из этого что-то собрать. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на принцип максимума модуля
Сообщение04.11.2024, 21:45 


21/12/16
721
Для субгармонических функций тоже есть принцип максимума

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на принцип максимума модуля
Сообщение04.11.2024, 22:55 


04/11/24
3
Как верно указали выше, такая функция субгармоническая и для нее выполняется принцип максимума. Меня еще вот такая мысля посетила: Рассмотрим отображение $\psi (x,y) : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $, которое задано как $\psi (x,y) = x^{2024} + y^{2024} $. Очевидно, такая функция не имеет локальных (и глобальных) максимумов (единственная точка, где $\nabla \psi (x,y)  = 0$ это $(x,y)= (0,0)$ и там, очевидно, глобальный минимум). Соответственно, на всяком открытом множестве она не может принимать максимальное значение (иначе в такой точке был бы локальный максимум). Т.к по теореме об открытом отображении $\Psi(x,y) : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $, заданная через $\Psi(x,y)  = ( \operatorname{Re}(x, y) , \operatorname{Im} (x,y) ) ^\top $ - открытое отображение, образ $\Psi(G)$ (где $G$ рассматриваем как подмножество $\mathbb{R}^2$ ) - открыт, и $\psi(x,y)$ на нем не может принимать максимума.
Поправьте пожалуйста, если не прав

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на принцип максимума модуля
Сообщение05.11.2024, 19:45 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
MBJ в сообщении #1660673 писал(а):
Поправьте пожалуйста, если не прав
По-моему, все в порядке. А откуда задача?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group