Задачи о взаимодействии распределения зарядовой плотности

[AleksandrIvanovich]

Приветствую участников Научного форума.
Подскажите пожалуйста, сталкивался ли кто ни будь с задачей о взаимодействии распределения в неограниченном пространстве зарядовой плотности с находящимся в ней сферическим зарядом без учета экранизации создаваемой перераспределением зарядовой плотности под действием помещенного в нее заряда? На первый взгляд казалось бы простая задача привела меня в тупик. Решить распределение напряженности электрического поля создаваемого распределением зарядовой плотности по поверхности сферы$R_1$ через теорему Гаусса не представляется возможным. Я попробовал решить через мультипольное разложение силы зарядовой плотности, где каждый элементарный объем зарядовой плотности действует на заряд $Q_1$, для упрощения задачи, я принял, что весь заряд $Q_1$ не распределен по всему объему сферы или поверхности сферы $S(R_1)$, а сосредоточен в ее центре, то есть рассматривается взаимодействие распределения зарядовой плотности с точечным зарядом $Q_1 $но на расстоянии от оболочки сферы $R_1$, то ест распределение зарядовой плотности непосредственно не соприкасается с точечным зарядом $Q_1 $ находящегося в центре сферы $S(R_1)$ на расстоянии $R_1$ от оболочки сферы $S(R_1)$
Вот какой интеграл у меня из этой постановки задачи получился:

Задача:

Мне необходимо найти полную силу, действующую на заряд $\( Q_1 \)$, расположенный на расстоянии $\( D \)$ от начала координат в системе $\( r_1 \)$, из-за сферически симметричного распределения зарядов с зарядовой плотностью $\( \rho(r_2) = \frac{Q_2 R_2}{r_2^4} \)$ в системе координат $\( r_2 \)$, где $\( r_2 \geq R_2 \). $

Плотность$ \( \rho(r_2) \) $описывает распределение зарядов, которое начинается от радиуса$ \( R_2 \)$ и продолжается до бесконечности. В данной задаче я буду последовательно переводить элементы задачи в систему координат $\( r_1 \)$, где находится заряд $\( Q_1 \)$, и вычислю полную силу, действующую на него.

Решение:

1. Формулировка зарядовой плотности $\( \rho(r_1) \)$ в системе координат$ \( r_1 \)$:

Поскольку распределение зарядов задано в системе $\( r_2 \)$ как $\( \rho(r_2) = \frac{Q_2 R_2}{r_2^4} \) для \( r_2 \geq R_2 \)$, для перехода к системе $\( r_1 \)$ мне нужно учесть смещение на вектор $\( \vec{D} \):$

$ \[ \vec{r}_1 = \vec{r}_2 + \vec{D}. \]$

Тогда зарядовая плотность в системе$ \( r_1 \)$ становится зависимой от $\( \vec{D} \)$:

$\[ \rho(r_1) = \frac{Q_2 R_2}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4}. \]$

2. Формулировка элементарного заряда $\( dQ \)$ в системе координат$ \( r_1 \)$:

Элементарный заряд$ \( dQ \)$ в системе $\( r_1 \)$ можно выразить через плотность $\( \rho(r_1) \)$ и элемент объема $\( dV_{r_1} \)$:

$ \[ dQ = \rho(r_1) \, dV_{r_1} = \frac{Q_2 R_2}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4} \, dV_{r_1}, \]$

где$ \( dV_{r_1} \)$ — это элемент объема в сферических координатах и задается как $\( dV_{r_1} = r_1^2 \sin \theta \, dr_1 \, d\theta \, d\phi \)$.

3. Формулировка элементарной силы $\( d\vec{F} \)$, действующей со стороны $\( dQ \) на \( Q_1 \)$:

По закону Кулона сила, действующая на заряд $\( Q_1 \)$ со стороны элементарного заряда $\( dQ \)$, равна:

$ \[ d\vec{F} = \frac{Q_1 \, dQ}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\vec{r}_1}{|\vec{r}_1|^3}. \]$

Подставляю выражение для $\( dQ \)$ из предыдущего шага:

$ \[ d\vec{F} = \frac{Q_1 \, Q_2 R_2}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4} \cdot \frac{\vec{r}_1}{|\vec{r}_1|^3} \, dV_{r_1}. \]$

4. Формулировка интеграла полной силы $\( \vec{F}_{\text{total}} \)$, действующей со стороны зарядового распределения на$ \( Q_1 \)$ в системе$ \( r_1 \)$:

Чтобы вычислить полную силу $\( \vec{F}_{\text{total}} \)$, действующую на заряд $\( Q_1 \)$ со стороны всего распределения зарядов, интегрирую $\( d\vec{F} \)$ по всему объему, начиная с радиуса$ \( R_1 \)$:

$\[ \vec{F}_{\text{total}} = \int_{V_{r_1}} d\vec{F} = \int_{R_1}^{\infty} \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{Q_1 \, Q_2 R_2}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4} \cdot \frac{\vec{r}_1}{|\vec{r}_1|^3} \, r_1^2 \sin \theta \, d\phi \, d\theta \, dr_1. \]$

5. Упрощение интеграла:

После подстановки выражения для$ \( dV_{r_1} \)$ и сокращения множителей $\( r_1^2 \)$ в числителе и знаменателе, интеграл принимает вид:

$\[ \vec{F}_{\text{total}} = \frac{Q_1 \, Q_2 R_2}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{R_1}^{\infty} \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\vec{r}_1 \sin \theta}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4 \, r_1} \, d\phi \, d\theta \, dr_1. \]$

Получилось, что подынтегральное выражение силы действующей со стороны зарядовой плотности на заряд зависит от угла между векторами $\( \vec{D} \)$ и $\( \vec{r_1} \)$, что в принципе логично, этот интеграл вообще можно вычислить аналитически и найти полную результирующую силу действующую на заряд со стороны распределения зарядовой плотности или это задача из области фантастики? Кто сталкивался с подобными задачами, насколько эта задача известная и имеет ли она аналитическое решение.

[Утундрий]

AleksandrIvanovich в сообщении #1660758 писал(а):

Подскажите пожалуйста, сталкивался ли кто ни будь с задачей о взаимодействии распределения в неограниченном пространстве зарядовой плотности с находящимся в ней сферическим зарядом без учета экранизации создаваемой перераспределением зарядовой плотности под действием помещенного в нее заряда? На первый взгляд казалось бы простая задача привела меня в тупик.

Меня тоже. Главную роль в этом, наверное, сыграла крайне "талантливая" формулировка задачи.

[realeugene]

AleksandrIvanovich в сообщении #1660758 писал(а):

без учета экранизации

Это что-то про кино?

[AleksandrIvanovich]

Утундрий в сообщении #1660760 писал(а):

AleksandrIvanovich в сообщении #1660758 писал(а):

Подскажите пожалуйста, сталкивался ли кто ни будь с задачей о взаимодействии распределения в неограниченном пространстве зарядовой плотности с находящимся в ней сферическим зарядом без учета экранизации создаваемой перераспределением зарядовой плотности под действием помещенного в нее заряда? На первый взгляд казалось бы простая задача привела меня в тупик.

Меня тоже. Главную роль в этом, наверное, сыграла крайне "талантливая" формулировка задачи.

Согласен постановка задачи экзотическая, но меня интересует решение задачи именно в такой постановке. Или Вы считаете, что исходя из условий задачи постановка задачи не правильная?

-- 06.11.2024, 12:50 --

realeugene в сообщении #1660789 писал(а):

AleksandrIvanovich в сообщении #1660758 писал(а):

без учета экранизации

Это что-то про кино?

Да про кино, но про другое.
Дебаевский радиус, или радиус Дебая (иногда называемый длиной экранирования Дебая), играет ключевую роль в описании того, как распределяются заряды вокруг заряженной частицы в плазме или электролите. Впервые описанный Петером Дебаем, этот параметр характеризует расстояние, на котором электрическое поле заряженной частицы экранируется за счёт облака противоположных зарядов, окружающих её. Такое экранирование создаётся вследствие термической диффузии и взаимодействия зарядов.

Основные положения о Дебаевском радиусе:

1. **Определение**: Дебаевский радиус,$ \( r_D \)$, это расстояние, на котором потенциал заряда в плазме уменьшается в$ \( e \)$ раз (где $\( e \) $— основание натурального логарифма). Это эквивалентно расстоянию, на котором заряды в плазме компенсируют влияние данного заряда. Радиус Дебая определяется выражением:
\[
$ r_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_B T}{n e^2}}$
\]
где:
-$ \( \varepsilon_0 \) $— диэлектрическая проницаемость вакуума,
-$ \( k_B \)$ — постоянная Больцмана,
- $\( T \) $— температура плазмы,
- $\( n \)$ — концентрация заряженных частиц,
- $\( e \)$ — элементарный заряд.

2. Физический смысл: Радиус Дебая характеризует «глубину» экранирования электрического поля в плазме. Чем больше радиус Дебая, тем меньше взаимодействие между зарядами ослабляется на большом расстоянии, что происходит в условиях низкой плотности заряженных частиц или высокой температуры.

Распределение зарядовой плотности в плазме

При введении заряда в плазму вокруг него формируется «облако экранирования», которое уменьшает эффективное электростатическое поле от этого заряда. Если представить положительно заряженную частицу в плазме, то отрицательные заряды будут стягиваться к ней, а положительные — отталкиваться. Это приводит к образованию пространственного распределения зарядовой плотности, которое описывается уравнением Пуассона-Больцмана для плазмы в равновесии:
$\[ \nabla^2 \phi = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = \frac{e n_0}{\varepsilon_0} \left(e^{-\frac{e\phi}{k_B T}} - e^{\frac{e\phi}{k_B T}}\right) \]$
где $\( \phi \) $— электростатический потенциал, и $\( n_0 \)$ — равновесная плотность частиц.

В условиях слабого потенциала (где $\( e\phi \ll k_B T \))$ уравнение Пуассона-Больцмана можно линеаризовать, что даёт так называемое уравнение Дебая-Хюккеля:
$\[ \nabla^2 \phi = \frac{\phi}{r_D^2} \]$
Решение этого уравнения даёт экспоненциальное затухание потенциала:
$\[ \phi(r) \propto \frac{e^{-\frac{r}{r_D}}}{r} \]$
где$ \( r \)$ — расстояние от заряда. Это показывает, что потенциал и, следовательно, поле заряда экранируется на расстоянии порядка радиуса Дебая.

[realeugene]

AleksandrIvanovich
Может быть вы перепутали экранизацию с экранированием?

[AleksandrIvanovich]

realeugene в сообщении #1660802 писал(а):

AleksandrIvanovich
Может быть вы перепутали экранизацию с экранированием?

Да Вы правы корректно выражаться как экранирование.

[amon]

AleksandrIvanovich в сообщении #1660758 писал(а):

Мне необходимо найти полную силу, действующую на заряд $\( Q_1 \)$, расположенный на расстоянии $\( D \)$ от начала координат в системе $\( r_1 \)$, из-за сферически симметричного распределения зарядов с зарядовой плотностью

Потенциал считать и воспользоваться $\mathbf{F}=Q\mathbf{E},\,\mathbf{E}=-\nabla\varphi$ не пробовали?

[AleksandrIvanovich]

amon в сообщении #1660816 писал(а):

AleksandrIvanovich в сообщении #1660758 писал(а):

Мне необходимо найти полную силу, действующую на заряд $\( Q_1 \)$, расположенный на расстоянии $\( D \)$ от начала координат в системе $\( r_1 \)$, из-за сферически симметричного распределения зарядов с зарядовой плотностью

Потенциал считать и воспользоваться $\mathbf{F}=Q\mathbf{E},\,\mathbf{E}=-\nabla\varphi$ не пробовали?

Пробовал, тоже ни чего утешительного
Чтобы найти потенциал электрического поля, создаваемого распределением зарядовой плотности$ \( \rho(r_2) = \frac{Q_2 R_2}{r_2^4} \)$, я использую определение потенциала для распределения зарядов в объеме. Потенциал $\( V(\vec{r}_1) \) в точке \( \vec{r}_1 \$) определяется как сумма вкладов от всех элементарных зарядов $\( dQ = \rho(\vec{r}_1') \, dV_{r_1'} \)$ во всем объеме распределения:

$\[ V(\vec{r}_1) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{V_{r_1}} \frac{\rho(r_1')}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_1'|} \, dV_{r_1'}, \]$

где:
- $\( \vec{r}_1 \) $— координата точки, в которой определяется потенциал,
- $\( \vec{r}_1' \)$ — координата элементарного объема $\( dV_{r_1'} \)$ внутри распределения зарядов,
- $\( \rho(r_1') = \frac{Q_2 R_2}{|\vec{r}_1' - \vec{D}|^4} \) $— зарядовая плотность в системе координат $\( r_1 \), где \( \vec{D} \)$ — смещение между центром зарядового распределения и точкой, в которой я нахожусь.

Чтобы выразить потенциал $\( V(\vec{r}_1) \)$ в удобной форме, я перехожу к сферическим координатам. Пусть$ \( dV_{r_1'} = r_1'^2 \sin \theta' \, dr_1' \, d\theta' \, d\phi' \)$. Тогда интеграл для потенциала можно записать как:

$\[ V(\vec{r}_1) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{R_2}^{\infty} \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{Q_2 R_2}{|\vec{r}_1' - \vec{D}|^4} \cdot \frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_1'|} \, r_1'^2 \sin \theta' \, d\phi' \, d\theta' \, dr_1'. \]$

Здесь:
- интеграл по $\( r_1' \)$ идет от $\( R_2 \)$ до бесконечности,
- по $\( \theta' \)$ — от $\( 0 \)$ до $\( \pi \)$,
- по $\( \phi' \)$ — от $\( 0 \)$ до $\( 2\pi \)$.
Возможно я чего то не правильно формулирую. Здесь не так просто определить потенциал, заряд не локализован, он распределен, потенциал в каждой точке создается бесконечным rоличеством dQ по всему объему

[svv]

AleksandrIvanovich
Правильно я понял ситуацию? Дано сферически симметричное распределение заряда с центром в точке $O$ и плотностью
$\rho(r)=\begin{cases}\frac {C}{r^4},&r>R\\ 0,&r<R\end{cases}$
Т.е. имеется полость с $\rho=0$ — шар радиуса $R$ с центром в $O$.

Точечный заряд $Q_1$ находится в точке $A$ внутри полости (т.е. $OA<R$). Нужно найти силу, с которой на него действует непрерывно распределённый заряд.
Я правильно понял?

[AleksandrIvanovich]

svv в сообщении #1660826 писал(а):

AleksandrIvanovich
Правильно я понял ситуацию? Дано сферически симметричное распределение заряда с центром в точке $O$ и плотностью
$\rho(r)=\begin{cases}\frac {C}{r^4},&r>R\\ 0,&r<R\end{cases}$
Т.е. имеется полость с $\rho=0$ — шар радиуса $R$ с центром в $O$.

Точечный заряд $Q_1$ находится в точке $A$ внутри полости (т.е. $OA<R$). Нужно найти силу, с которой на него действует непрерывно распределённый заряд.
Я правильно понял?

Добрый день, не не правильно заряд А находится за пределами сферы R_2 от которой начинается распределение зарядовой плотности. Между центром сферический симметрии распределения зарядовой плотности Q_2 и центром сферы сферического заряда Q_1 расстояние вектора D.
Какой поток векторного поля будет в нутрии сферы R_2 b и так понятно согласно теоремы Гаусса.
Было одно решение, когда я попытался "вывернуть" теорему Гаусса на изнанку (понимаю, что так желать нельзя но ради эксперимента) и допустил, что на поверхности сферы R_1 будет такая же напряженность электрического поля, в присутствии сферы Q, что и в ее отсутствие. Условно сначала нашел распределение электрического поля на поверхности умозрительной поверхности S(R_1) в допущении, что распределение зарядовой плотности внутри нее определяется законом распределения зарядовой плотности (непрерывно), а затем предположит, что такое же поле будет и на поверхности уже заряженной сферы. Интеграл получился тоже сложный но я вроде как его решил аналитически через табличные интегралы, но это решение через "вывернутую на изнанку" Теорему Гаусса, что не научно, просто развлечение.

[svv]

Значит, вот так:

[AleksandrIvanovich]

svv в сообщении #1660829 писал(а):

Значит, вот так:

Да правильно расстояние между точками О и А вектор D, и заряд Q_1 не точечный, он сферический S(R_1), для упрощения задачи, я предположил, что весь заряд Q_1 сосредоточен в центре этой сферы, а не распределен равномерно по объему сферы, что бы проще было считать электрическое поле действующее на него со стороны зарядовой плотности, но распределение зарядовой плотности обрывается на сфере R_1. Одной из догадок было, что нужно взять градиент распределения зарядовой плотности по всему объему от поверхности этой сферы S(R_1), а дальше этот градиент проинтегрировать по поверхности сферы, но какое это будет иметь отношение к напряженности электрического поля на поверхности сферы R_1 я не до конца понимаю. Может быть эту задаче нужно решать через электростатическое через объемное давление создаваемое зарядовой плотности на элемент объёма dV заряда Q_1 плотность заряда Q_1 известна, но что то я тут совсем растерялся.

[svv]

Разобьём область с непрерывно распределённым зарядом на две: внешнюю ($r>OA$) и внутреннюю ($r<OA$). Расположенный в них заряд тоже будем называть соответственно внешним и внутренним.
На картинке краница между внешней и внутренней областями изображена тонкой чёрной линией. Заряд $Q_1$ как раз на этой границе.

Вы говорили, что для начала хотите решить задачу в упрощённой постановке, когда заряд $Q_1$ точечный. Решение этой задачи получается из двух соображений:
Поле внешнего заряда во внутренней области (включая границу) равно нулю.
Поле внутреннего заряда во внешней области (включая границу) такое, как если бы внутренний заряд был сосредоточен в точке $O$.

[AleksandrIvanovich]

svv в сообщении #1660831 писал(а):

Разобьём область с непрерывно распределённым зарядом на две: внешнюю — вне сферы (на картинке тонкая чёрная) и внутреннюю. Расположенный в них заряд тоже будем называть соответственно внешним и внутренним.

Вы говорили, что для начала хотите решить задачу в упрощённой постановке, когда заряд $Q_1$ точечный. Решение этой задачи получается из двух соображений:
Поле внешнего заряда во внутренней области (включая границу) равно нулю.
Поле внутреннего заряда во внешней области (включая границу) такое, как если бы внутренний заряд был сосредоточен в точке $O$.

Да я понимаю, о чем вы говорите, если принять что зарядовая плотность на границе сферы R_1 ограничена, по получается, что согласно теоремы Гаусса, ее поле внутри сферы рано нулю. Если принимать во внимание объемную плотность заряда в внутри сферы S(R_1), или, что он распределен по ПО поверхности сферы с некой поверхностной плотностью, то тогда становится совсем грустно.)))
Я применил упрощение, что заряд в центре сферы, для мультипольного разложения и получения результирующей силы, для применения теоремы Гаусса такое допущение применят нельзя. Интуитивно понятно, что зарядовая плотность будет "втягивать" отрицательный заряд в область более высокой плотности зарядовой плотности если она положительная и наоборот выталкивать если отрицательная, но как это обосновать аналитически, а не интуитивно не понятно. Возможно это можно как то решить через градиент этой плотности по поверхности сферы, но как это обосновать я не понимаю.
Вы не до конца правильно нарисовали модель. Две сферы радиусом R_1=R_2 их центры на расстоянии D, от поверхности сферы R_2 распределяется зарядовая плотность согласно описанной зависимости, заряд Q_1 - сфера радиуса R_1, задача как будет взаимодействовать распределение зарядовой плотности и помещенный в нее сферический заряд Q_1. Градиент зарядовой плотности по поверхности сферы R_1 не будет равен нулю, соответственно на ее поверхности будет наблюдаться некая напряжённость электрического поля, вызванного неравномерным распределением зарядовой плотности по ее поверхности. Если бы распределение плотности было равномерным тогда да согласен, напряженность электрического поля и на поверхности и внутри сферы была бы равна нулю, но не в рассматриваемом случае.

[AleksandrIvanovich]

https://drive.google.com/file/d/1gb3UUqLoA_J4ovrnLbC9n7URjbDzuOQD/view?usp=drive_link
Вот такая постановка задачи. Так и не смог загрузить сюда изображение с фаилообмениика.