Приветствую участников Научного форума.
Подскажите пожалуйста, сталкивался ли кто ни будь с задачей о взаимодействии распределения в неограниченном пространстве зарядовой плотности с находящимся в ней сферическим зарядом без учета экранизации создаваемой перераспределением зарядовой плотности под действием помещенного в нее заряда? На первый взгляд казалось бы простая задача привела меня в тупик. Решить распределение напряженности электрического поля создаваемого распределением зарядовой плотности по поверхности сферы

через теорему Гаусса не представляется возможным. Я попробовал решить через мультипольное разложение силы зарядовой плотности, где каждый элементарный объем зарядовой плотности действует на заряд

, для упрощения задачи, я принял, что весь заряд

не распределен по всему объему сферы или поверхности сферы

, а сосредоточен в ее центре, то есть рассматривается взаимодействие распределения зарядовой плотности с точечным зарядом

но на расстоянии от оболочки сферы

, то ест распределение зарядовой плотности непосредственно не соприкасается с точечным зарядом

находящегося в центре сферы

на расстоянии

от оболочки сферы

Вот какой интеграл у меня из этой постановки задачи получился:
Задача:
Мне необходимо найти полную силу, действующую на заряд

, расположенный на расстоянии

от начала координат в системе

, из-за сферически симметричного распределения зарядов с зарядовой плотностью

в системе координат

, где

Плотность

описывает распределение зарядов, которое начинается от радиуса

и продолжается до бесконечности. В данной задаче я буду последовательно переводить элементы задачи в систему координат

, где находится заряд

, и вычислю полную силу, действующую на него.
Решение:
1. Формулировка зарядовой плотности

в системе координат

:
Поскольку распределение зарядов задано в системе

как

, для перехода к системе

мне нужно учесть смещение на вектор
![$ \[
\vec{r}_1 = \vec{r}_2 + \vec{D}.
\]$ $ \[
\vec{r}_1 = \vec{r}_2 + \vec{D}.
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/9/76942a355742ba28839d30f039b8865c82.png)
Тогда зарядовая плотность в системе

становится зависимой от

:
![$\[
\rho(r_1) = \frac{Q_2 R_2}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4}.
\]$ $\[
\rho(r_1) = \frac{Q_2 R_2}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4}.
\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/5/265fc621d180df55623054e8a707dd6e82.png)
2. Формулировка элементарного заряда

в системе координат

:
Элементарный заряд

в системе

можно выразить через плотность

и элемент объема

:
![$ \[
dQ = \rho(r_1) \, dV_{r_1} = \frac{Q_2 R_2}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4} \, dV_{r_1},
\]$ $ \[
dQ = \rho(r_1) \, dV_{r_1} = \frac{Q_2 R_2}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4} \, dV_{r_1},
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/7/377ff7db0530895503711fa881068d7882.png)
где

— это элемент объема в сферических координатах и задается как

.
3. Формулировка элементарной силы

, действующей со стороны

:
По закону Кулона сила, действующая на заряд

со стороны элементарного заряда

, равна:
![$ \[
d\vec{F} = \frac{Q_1 \, dQ}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\vec{r}_1}{|\vec{r}_1|^3}.
\]$ $ \[
d\vec{F} = \frac{Q_1 \, dQ}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\vec{r}_1}{|\vec{r}_1|^3}.
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/0/bc012f271c471a23b08be93e280d71d982.png)
Подставляю выражение для

из предыдущего шага:
![$ \[
d\vec{F} = \frac{Q_1 \, Q_2 R_2}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4} \cdot \frac{\vec{r}_1}{|\vec{r}_1|^3} \, dV_{r_1}.
\]$ $ \[
d\vec{F} = \frac{Q_1 \, Q_2 R_2}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4} \cdot \frac{\vec{r}_1}{|\vec{r}_1|^3} \, dV_{r_1}.
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/5/b6530ab1bcb3ef2ee3797365cdb8835482.png)
4. Формулировка интеграла полной силы

, действующей со стороны зарядового распределения на

в системе

:
Чтобы вычислить полную силу

, действующую на заряд

со стороны всего распределения зарядов, интегрирую

по всему объему, начиная с радиуса

:
![$\[
\vec{F}_{\text{total}} = \int_{V_{r_1}} d\vec{F} = \int_{R_1}^{\infty} \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{Q_1 \, Q_2 R_2}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4} \cdot \frac{\vec{r}_1}{|\vec{r}_1|^3} \, r_1^2 \sin \theta \, d\phi \, d\theta \, dr_1.
\]$ $\[
\vec{F}_{\text{total}} = \int_{V_{r_1}} d\vec{F} = \int_{R_1}^{\infty} \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{Q_1 \, Q_2 R_2}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4} \cdot \frac{\vec{r}_1}{|\vec{r}_1|^3} \, r_1^2 \sin \theta \, d\phi \, d\theta \, dr_1.
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/d/4ad07863e317e1dbf02ed07053274efb82.png)
5. Упрощение интеграла:
После подстановки выражения для

и сокращения множителей

в числителе и знаменателе, интеграл принимает вид:
![$\[
\vec{F}_{\text{total}} = \frac{Q_1 \, Q_2 R_2}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{R_1}^{\infty} \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\vec{r}_1 \sin \theta}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4 \, r_1} \, d\phi \, d\theta \, dr_1.
\]$ $\[
\vec{F}_{\text{total}} = \frac{Q_1 \, Q_2 R_2}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{R_1}^{\infty} \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\vec{r}_1 \sin \theta}{|\vec{r}_1 - \vec{D}|^4 \, r_1} \, d\phi \, d\theta \, dr_1.
\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/4/d04388919ec51e62fa8a211833cc917182.png)
Получилось, что подынтегральное выражение силы действующей со стороны зарядовой плотности на заряд зависит от угла между векторами

и

, что в принципе логично, этот интеграл вообще можно вычислить аналитически и найти полную результирующую силу действующую на заряд со стороны распределения зарядовой плотности или это задача из области фантастики? Кто сталкивался с подобными задачами, насколько эта задача известная и имеет ли она аналитическое решение.