Приветствую участников Научного форума.
Подскажите пожалуйста, сталкивался ли кто ни будь с задачей о взаимодействии распределения в неограниченном пространстве зарядовой плотности с находящимся в ней сферическим зарядом без учета экранизации создаваемой перераспределением зарядовой плотности под действием помещенного в нее заряда? На первый взгляд казалось бы простая задача привела меня в тупик. Решить распределение напряженности электрического поля создаваемого распределением зарядовой плотности по поверхности сферы
через теорему Гаусса не представляется возможным. Я попробовал решить через мультипольное разложение силы зарядовой плотности, где каждый элементарный объем зарядовой плотности действует на заряд
, для упрощения задачи, я принял, что весь заряд
не распределен по всему объему сферы или поверхности сферы
, а сосредоточен в ее центре, то есть рассматривается взаимодействие распределения зарядовой плотности с точечным зарядом
но на расстоянии от оболочки сферы
, то ест распределение зарядовой плотности непосредственно не соприкасается с точечным зарядом
находящегося в центре сферы
на расстоянии
от оболочки сферы
Вот какой интеграл у меня из этой постановки задачи получился:
Задача:
Мне необходимо найти полную силу, действующую на заряд
, расположенный на расстоянии
от начала координат в системе
, из-за сферически симметричного распределения зарядов с зарядовой плотностью
в системе координат
, где
Плотность
описывает распределение зарядов, которое начинается от радиуса
и продолжается до бесконечности. В данной задаче я буду последовательно переводить элементы задачи в систему координат
, где находится заряд
, и вычислю полную силу, действующую на него.
Решение:
1. Формулировка зарядовой плотности
в системе координат
:
Поскольку распределение зарядов задано в системе
как
, для перехода к системе
мне нужно учесть смещение на вектор
Тогда зарядовая плотность в системе
становится зависимой от
:
2. Формулировка элементарного заряда
в системе координат
:
Элементарный заряд
в системе
можно выразить через плотность
и элемент объема
:
где
— это элемент объема в сферических координатах и задается как
.
3. Формулировка элементарной силы
, действующей со стороны
:
По закону Кулона сила, действующая на заряд
со стороны элементарного заряда
, равна:
Подставляю выражение для
из предыдущего шага:
4. Формулировка интеграла полной силы
, действующей со стороны зарядового распределения на
в системе
:
Чтобы вычислить полную силу
, действующую на заряд
со стороны всего распределения зарядов, интегрирую
по всему объему, начиная с радиуса
:
5. Упрощение интеграла:
После подстановки выражения для
и сокращения множителей
в числителе и знаменателе, интеграл принимает вид:
Получилось, что подынтегральное выражение силы действующей со стороны зарядовой плотности на заряд зависит от угла между векторами
и
, что в принципе логично, этот интеграл вообще можно вычислить аналитически и найти полную результирующую силу действующую на заряд со стороны распределения зарядовой плотности или это задача из области фантастики? Кто сталкивался с подобными задачами, насколько эта задача известная и имеет ли она аналитическое решение.