Задача по топологии прямой

[Padawan]

Доказать, что $\mathbb R$ нельзя представить в виде объединения счётного семейства попарно непересекающихся непустых замкнутых множеств.

[Anton_Peplov]

Padawan в сообщении #1660768 писал(а):

в виде объединения счётного семейства попарно непересекающихся непустых замкнутых множеств

Прошу прощения, а к чему тут уточнение "непустых"?

Вдруг будет полезно. Частный случай этой задачи - когда не произвольные замкнутые множества, а отрезки - обсуждался здесь (Вы мне тогда помогли разобраться).

[Padawan]

Anton_Peplov в сообщении #1660784 писал(а):

Прошу прощения, а к чему тут уточнение "непустых"?

Чтобы исключить тривиальный случай, когда одно множество - всë $\mathbb R$, а остальные пустые. Можно заменить на "По крайней мере два из которых не пусты". Для конечно числа непустых замкнутых множеств утверждение следует из связности $\mathbb R$.

По-поводу ссылки: да, надо немного модифицировать рассуждение.

[mihaild]

Так, а рабоче-крестьянский метод не работает?
Взяли $X_1$. В нем есть дырка $(a_1, a_2)$, где $a_1 \in X_1$, зафиксировали ее. Ждем, пока какое-нибудь множество пересечет $(a_1, a_2)$, его ближайшая к $a_1$ точка - $a_3$, и она на ненулевом расстоянии от $a_2$. Теперь запомнили интервал $(a_1, a_3)$, ждем, пока в него кто-то попадет, возьмем ближайшую к $a_3$ точку $a_4$, запомнили интервал $(a_4, a_3)$. И т.д., на четных шагах сдвигаем правую границу, на нечетных - левую.
Получили последовательность вложенных интервалов, причем через один вложение строгое (второй строго вложен в четвертый, четвертый в шестой, и т.д.). У соответствующих отрезков есть точка пересечения, внутренняя для всех, и, значит, не принадлежащая ни одному множеству.

[Padawan]

Ну да. Типа того.

[Anton_Peplov]

А верно ли аналогичное утверждение для $\mathbb R^2$? Для $\mathbb R^n$? В утверждении использованы только топологические свойства, так что интересно было бы найти самые широкие условия на топологическое пространство, в которых оно верно.

[Padawan]

Есть теорема Серпинского: континуум (т.е. связный хаусдорфов компакт) нельзя представить в виде объединения счётного семейства замкнутых непустых попарно непересекающихся подмножеств. См. Куратовский Топология, том 2, параграф 47, пункт III, теорема 6.
Так что да, для $\mathbb R^n$ верно. Хоть оно и не компактно. Но, если предположить, что $\mathbb R^n$ разбили, то пересекая эти замкнутые множества с шаром $\overline B(0, R) $ ...