Так, а рабоче-крестьянский метод не работает?
Взяли
. В нем есть дырка
, где
, зафиксировали ее. Ждем, пока какое-нибудь множество пересечет
, его ближайшая к
точка -
, и она на ненулевом расстоянии от
. Теперь запомнили интервал
, ждем, пока в него кто-то попадет, возьмем ближайшую к
точку
, запомнили интервал
. И т.д., на четных шагах сдвигаем правую границу, на нечетных - левую.
Получили последовательность вложенных интервалов, причем через один вложение строгое (второй строго вложен в четвертый, четвертый в шестой, и т.д.). У соответствующих отрезков есть точка пересечения, внутренняя для всех, и, значит, не принадлежащая ни одному множеству.