2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по топологии прямой
Сообщение06.11.2024, 07:26 
Заслуженный участник


13/12/05
4591
Доказать, что $\mathbb R$ нельзя представить в виде объединения счётного семейства попарно непересекающихся непустых замкнутых множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии прямой
Сообщение06.11.2024, 10:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8491
Padawan в сообщении #1660768 писал(а):
в виде объединения счётного семейства попарно непересекающихся непустых замкнутых множеств
Прошу прощения, а к чему тут уточнение "непустых"?

Вдруг будет полезно. Частный случай этой задачи - когда не произвольные замкнутые множества, а отрезки - обсуждался здесь (Вы мне тогда помогли разобраться).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии прямой
Сообщение06.11.2024, 11:47 
Заслуженный участник


13/12/05
4591
Anton_Peplov в сообщении #1660784 писал(а):
Прошу прощения, а к чему тут уточнение "непустых"?

Чтобы исключить тривиальный случай, когда одно множество - всë $\mathbb R$, а остальные пустые. Можно заменить на "По крайней мере два из которых не пусты". Для конечно числа непустых замкнутых множеств утверждение следует из связности $\mathbb R$.

По-поводу ссылки: да, надо немного модифицировать рассуждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии прямой
Сообщение06.11.2024, 12:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9091
Цюрих
Так, а рабоче-крестьянский метод не работает?
Взяли $X_1$. В нем есть дырка $(a_1, a_2)$, где $a_1 \in X_1$, зафиксировали ее. Ждем, пока какое-нибудь множество пересечет $(a_1, a_2)$, его ближайшая к $a_1$ точка - $a_3$, и она на ненулевом расстоянии от $a_2$. Теперь запомнили интервал $(a_1, a_3)$, ждем, пока в него кто-то попадет, возьмем ближайшую к $a_3$ точку $a_4$, запомнили интервал $(a_4, a_3)$. И т.д., на четных шагах сдвигаем правую границу, на нечетных - левую.
Получили последовательность вложенных интервалов, причем через один вложение строгое (второй строго вложен в четвертый, четвертый в шестой, и т.д.). У соответствующих отрезков есть точка пересечения, внутренняя для всех, и, значит, не принадлежащая ни одному множеству.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии прямой
Сообщение06.11.2024, 13:00 
Заслуженный участник


13/12/05
4591
Ну да. Типа того.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии прямой
Сообщение06.11.2024, 13:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8491
А верно ли аналогичное утверждение для $\mathbb R^2$? Для $\mathbb R^n$? В утверждении использованы только топологические свойства, так что интересно было бы найти самые широкие условия на топологическое пространство, в которых оно верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии прямой
Сообщение06.11.2024, 13:35 
Заслуженный участник


13/12/05
4591
Есть теорема Серпинского: континуум (т.е. связный хаусдорфов компакт) нельзя представить в виде объединения счётного семейства замкнутых непустых попарно непересекающихся подмножеств. См. Куратовский Топология, том 2, параграф 47, пункт III, теорема 6.
Так что да, для $\mathbb R^n$ верно. Хоть оно и не компактно. Но, если предположить, что $\mathbb R^n$ разбили, то пересекая эти замкнутые множества с шаром $\overline B(0, R) $ ...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group