2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кривизна кривой из дифференциального уравнения
Сообщение05.11.2024, 01:08 


14/11/21
52
Пусть кривая задана параметризацией $(x(t), y(t))$, удовлетворяющей дифференциальному уравнению $P(x, y) d x+$ $Q(x, y) d y=0$. Найти кривизну кривой.

Совсем нет идей, как в общем виде решить задачу...

Дайте, пожалуйста, наводку

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривизна кривой из дифференциального уравнения
Сообщение05.11.2024, 04:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Введём обозначения:
$f_x=\frac{\partial f}{\partial x},\; f_y=\frac{\partial f}{\partial y},\;f'=\frac{df}{dt}=f_x x'+f_y y'$

По условию $P x'+Q y'=0$. Отсюда можно найти $x', y'$ с точностью до неизвестного общего коэффициента $\lambda$:
$x'=Q\lambda,\;y'=-P\lambda$
Также
$x''=Q'\lambda+Q\lambda',\;y''=-P'\lambda-P\lambda'$

Используйте формулу для ориентированной кривизны отсюда (если нужна обычная кривизна, возьмите модуль). Все слагаемые с $\lambda'$ уйдут.
В ответе не должно быть $\lambda$ и величин со штрихами. Только частные производные по координатам $x,y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривизна кривой из дифференциального уравнения
Сообщение05.11.2024, 10:07 


07/10/24
11

(Оффтоп)

Училась Даша на дифгеометра, училась, да не выучилась...

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривизна кривой из дифференциального уравнения
Сообщение05.11.2024, 10:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
DariaRychenkova в сообщении #1660691 писал(а):
Пусть кривая задана параметризацией $(x(t), y(t))$

DariaRychenkova в сообщении #1660691 писал(а):
Найти кривизну кривой.

Если параметризация кривой нам уже дана и она достаточна "гладкая" (существуют производные функций $(x(t), y(t))$ и они не обращаются в нуль одновременно) , то нам без разницы, какому уравнению эта параметризация удовлетворяет. А как подсчитать кривизну для такой параметризации, рассказано в первых параграфов учебников дифгеометрии. Но если вы изучаете механику, то может вам ближе подсчитать это дело через механические соображения.

Хотя из первого поста неясно, что же всё-таки нам дано? Функции $x(t), y(t)$ нам даны? А если нет, то зачем они в условии упомянуты? Я думаю, что ответ нужно выразить непосредственно через функции $P$ и $Q$. Решение нашего уравнения записывается через интегралы от этих функций. А кривизну можно потом подсчитать через производные от этого решения, то есть непосредственно через функции $P$ и $Q$. То есть план решения следующий. Решаете ваше уравнение в "явном" виде. То есть где можно это будет явная зависимость $y$ от $x$ . А где можно это будет зависимость $x$ от $y$ . Затем (учитывая, что будете решать из механических соображений) переходите к параметрическому заданию решения (причём для дальнейшего удобства с единичной скоростью движения точки по прямой - это называется естественной или натуральной параметризацией). Дальше применяйте механические соображения.

Пока писал свой пост, появился пост от ТС (оказалось, не от ТС :D) . Ну так находите скорость точки и её ускорение. Раскладывайте его (ускорение) на нормальную и тангенциальную составляющие ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривизна кривой из дифференциального уравнения
Сообщение05.11.2024, 11:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
$y'=-P/Q$
Не слишком честно, зато быстро.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривизна кривой из дифференциального уравнения
Сообщение05.11.2024, 12:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1660709 писал(а):
$y'=-P/Q$
Не слишком честно, зато быстро.

Не ясно, однако, знает ли ТС, как найти кривизну кривой, которая задаётся явной функцией . В любом случае это полезно знать.


-- Вт ноя 05, 2024 12:16:17 --

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1660706 писал(а):
Затем (учитывая, что будете решать из механических соображений)

Извиняюсь, меня ввёл в заблуждение пост Dashik007 (я посчитал, что это пост ТС). Задачу необязательно решать из механических соображений, зная формулу для кривизны явно заданной функции. (Хотя её выводят в учебниках неявно используя механические соображения).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривизна кривой из дифференциального уравнения
Сообщение05.11.2024, 12:30 


14/11/21
52
svv
Спасибо!!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group