Кривизна кривой из дифференциального уравнения

[DariaRychenkova]

Пусть кривая задана параметризацией $(x(t), y(t))$, удовлетворяющей дифференциальному уравнению $P(x, y) d x+$ $Q(x, y) d y=0$. Найти кривизну кривой.

Совсем нет идей, как в общем виде решить задачу...

Дайте, пожалуйста, наводку

[svv]

Введём обозначения:
$f_x=\frac{\partial f}{\partial x},\; f_y=\frac{\partial f}{\partial y},\;f'=\frac{df}{dt}=f_x x'+f_y y'$

По условию $P x'+Q y'=0$. Отсюда можно найти $x', y'$ с точностью до неизвестного общего коэффициента $\lambda$:
$x'=Q\lambda,\;y'=-P\lambda$
Также
$x''=Q'\lambda+Q\lambda',\;y''=-P'\lambda-P\lambda'$

Используйте формулу для ориентированной кривизны отсюда (если нужна обычная кривизна, возьмите модуль). Все слагаемые с $\lambda'$ уйдут.
В ответе не должно быть $\lambda$ и величин со штрихами. Только частные производные по координатам $x,y$.

[Dashik007]

(Оффтоп)

Училась Даша на дифгеометра, училась, да не выучилась...

[мат-ламер]

DariaRychenkova в сообщении #1660691 писал(а):

Пусть кривая задана параметризацией $(x(t), y(t))$

DariaRychenkova в сообщении #1660691 писал(а):

Найти кривизну кривой.

Если параметризация кривой нам уже дана и она достаточна "гладкая" (существуют производные функций $(x(t), y(t))$ и они не обращаются в нуль одновременно) , то нам без разницы, какому уравнению эта параметризация удовлетворяет. А как подсчитать кривизну для такой параметризации, рассказано в первых параграфов учебников дифгеометрии. Но если вы изучаете механику, то может вам ближе подсчитать это дело через механические соображения.

Хотя из первого поста неясно, что же всё-таки нам дано? Функции $x(t), y(t)$ нам даны? А если нет, то зачем они в условии упомянуты? Я думаю, что ответ нужно выразить непосредственно через функции $P$ и $Q$. Решение нашего уравнения записывается через интегралы от этих функций. А кривизну можно потом подсчитать через производные от этого решения, то есть непосредственно через функции $P$ и $Q$. То есть план решения следующий. Решаете ваше уравнение в "явном" виде. То есть где можно это будет явная зависимость $y$ от $x$ . А где можно это будет зависимость $x$ от $y$ . Затем (учитывая, что будете решать из механических соображений) переходите к параметрическому заданию решения (причём для дальнейшего удобства с единичной скоростью движения точки по прямой - это называется естественной или натуральной параметризацией). Дальше применяйте механические соображения.

Пока писал свой пост, появился пост от ТС (оказалось, не от ТС ) . Ну так находите скорость точки и её ускорение. Раскладывайте его (ускорение) на нормальную и тангенциальную составляющие ...

[Утундрий]

$y'=-P/Q$
Не слишком честно, зато быстро.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1660709 писал(а):

$y'=-P/Q$
Не слишком честно, зато быстро.

Не ясно, однако, знает ли ТС, как найти кривизну кривой, которая задаётся явной функцией . В любом случае это полезно знать.

-- Вт ноя 05, 2024 12:16:17 --

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1660706 писал(а):

Затем (учитывая, что будете решать из механических соображений)

Извиняюсь, меня ввёл в заблуждение пост Dashik007 (я посчитал, что это пост ТС). Задачу необязательно решать из механических соображений, зная формулу для кривизны явно заданной функции. (Хотя её выводят в учебниках неявно используя механические соображения).

[DariaRychenkova]

svv
Спасибо!!