Вероятность данного значения непрерывно распред. величины

[StudentV]

drzewo в сообщении #1660635 писал(а):

StudentV в сообщении #1660633 писал(а):

События, вероятность которых равна нулю, тоже происходят.

не-а не происходят:)
вот это:

StudentV в сообщении #1660633 писал(а):

для любого числа $a$ вероятность, что величина $X$ в результате опыта примет значение $a$,

и вот это:

StudentV в сообщении #1660633 писал(а):

величина $X$ примет какое-то значение

две разных задачи. Если Вас интересуют подробности -- то открываете тему в <<помогите решить. математика>>

Открываю тему.

Пусть случайная величина распределена $X$ непрерывно с дифференциальным законом распределения $f(x)$. Дано: в результате опыта величина приняла значение $c$. Какова была вероятность, что она примет значение $c$? По-моему, эта вероятность была равна нулю, поскольку $P(X = c) = \int\limits_c^c f(x)dx=0$. Но событие произошло. Значит, события с нулевой вероятностью не являются невозможными.

Что не так в этом рассуждении?

[Утундрий]

StudentV в сообщении #1660639 писал(а):

случайная величина распределена $X$ непрерывно с дифференциальным законом распределения $f(x)$

Это, насколько я понимаю, следует читать так: случайная величина $X$ непрерывно распределена с плотностью вероятности $f(x)$.

StudentV в сообщении #1660639 писал(а):

Но событие произошло. Значит, события с нулевой вероятностью не являются невозможными.

Что не так в этом рассуждении?

Понятно, что при реализации некоего случайного процесса непрерывно распределённая случайная величина принимает некоторое значение. Но вот вероятность того, что она примет именно это значение равна нулю. Можно сказать, что невозможным является предсказание событий с нулевой вероятностью.

[talash]

(Оффтоп)

StudentV в сообщении #1660639 писал(а):

Открываю тему.

Пусть случайная величина распределена $X$ непрерывно с дифференциальным законом распределения $f(x)$. Дано: в результате опыта величина приняла значение $c$. Какова была вероятность, что она примет значение $c$? По-моему, эта вероятность была равна нулю, поскольку $P(X = c) = \int\limits_c^c f(x)dx=0$. Но событие произошло. Значит, события с нулевой вероятностью не являются невозможными.

Что не так в этом рассуждении?

Этот вопрос пересекается с моими рассуждениями об основаниях математики. Но поскольку я неспециалист, а это раздел ПРР, то можно обсудить в моей теме, если захотите. Ответ я бы дал такой, на опыте невозможно получить случайное действительное число. Поэтому, вопрос поставлен некорректно.

talash в сообщении #1639853 писал(а):

В идеальной линейке нет минимального размера деления. Но нет и бесконечности в силу конечности процесса измерения. Напомню, идея в том, что идеальный математический мир мы можем запрограммировать на компьютере. И человек там будет, как наблюдатель, он может измерять длину объектов с любой желаемой точностью и получать результат - измеримое число. Но чем больше точность, тем дольше процесс измерения и, таким образом, бесконечностей здесь пока нет.

Далее, из того, что минимального размера нет, следует, что внутри компьтерной программы длина объекта должна быть задана с бесконечной точностью. Например, можно задать с помощью алгоритма такую длину $0.1010010001...$ и так далее, где промежутки между единицами, заполненные нулями, возрастают каждый раз на один нолик. Алгоритм бесконечен, но нам из него нужно получить конечное измеримое число, следовательно, всегда будет выполнено ограниченное число итераций. При делении единицы на тройку, мы также приходим к бесконечному алгоритму $0.(3)$. Далее, поскольку такие бесконечные алгоритмы обладают всеми необходимыми свойствами изначального измеримого числа, мы можем обобщить понятие числа и на них. Конечные измеримые числа и периодические бесконечные алгоритмы называем рациональными числами, а бесконечные непериодические алгоритмы - иррациональными. Как видите, идея предела не требуется для введения понятия иррационального числа. Вычисление $\sqrt2$ приводит к бесконечному непериодическому алгоритму.

Из этой модели, кстати, следует, что не существует точного случайного числа между (0,1), потому что оно не может быть задано бесконечным алгоритмом. Его нужно генерировать, что займёт бесконечный объём памяти, а это невозможно.

[StudentV]

StudentV в сообщении #1660639 писал(а):

Что не так в этом рассуждении?

Я бы даже конкретизировал этот вопрос. Произошло ли событие, вероятность которого была равна нулю? Варианты ответа:
- Нет, потому что...
- Вопрос некорректно поставлен, потому что...
- Да, произошло.

[Утундрий]

StudentV в сообщении #1660648 писал(а):

Я бы даже конкретизировал этот вопрос. Произошло ли событие, вероятность которого была равна нулю? Варианты ответа:
- Нет, потому что...
- Вопрос некорректно поставлен, потому что...
- Да, произошло.

Почему бы вам не создать для обсуждения этого вопроса отдельную тему? А потом ещё одну, а потом ещё одну, а потом ещё одну...

[dgwuqtj]

StudentV в сообщении #1660648 писал(а):

Произошло ли событие, вероятность которого была равна нулю?

А вы видели определение вероятностного пространства? Понятие "произошло" в теории вероятностей используют только неформально, насколько я знаю. А события с нулевыми вероятностями могут быть как пустыми, так и непустыми, т.е. с элементарными исходами.

[StudentV]

dgwuqtj в сообщении #1660657 писал(а):

А вы видели определение вероятностного пространства?

Видел.

dgwuqtj в сообщении #1660657 писал(а):

события с нулевыми вероятностями могут быть как пустыми, так и непустыми, т.е. с элементарными исходами.

Именно о непустых событиях с нулевыми вероятностями я и говорю.

dgwuqtj в сообщении #1660657 писал(а):

Понятие "произошло" в теории вероятностей используют только неформально, насколько я знаю.

Да, если говорить о вероятностных пространствах, не будет такого понятия, как "событие произошло". Событие - это множество элементарных исходов, множества не могут происходить. А если говорить о реальных опытах, то условие "в результате опыта величина приняла значение $c$" лишено смысла, поскольку ни один измерительный прибор не показывает значения с абсолютной точностью. Всегда будет известно лишь, что величина приняла значение $c \pm \Delta c$.

Но вот почему я задал этот вопрос:

StudentV в сообщении #1660630 писал(а):

В школе нам так определяли идеальный газ: молекулы идеального газа - материальные точки, единственное взаимодействие которых - абсолютно упругие удары.

drzewo в сообщении #1660631 писал(а):

При такой постановке вопроса, с учетом того, что молекул -- конечное число, вероятность хоть одного столкновения между ними за конечное время равна нулю. (Если мы ввели равномерное распределение на пространстве начальных условий)

StudentV в сообщении #1660633 писал(а):

Это тоже интересный вопрос. События, вероятность которых равна нулю, тоже происходят. Если случайная величина $X$ распределена непрерывно, то для любого числа $a$ вероятность, что величина $X$ в результате опыта примет значение $a$, равна нулю. Но ведь в результате опыта величина $X$ примет какое-то значение, несмотря на нулевую вероятность того, что она примет именно это значение. Почему это возможно, а столкновение молекул - материальных точек невозможно?

Идеальный газ - это математическая модель реального газа. Это не про реальные опыты с измерительными приборами. Но перевести эту модель на язык вероятностного пространства я могу только с помощью понятий "событие произошло".
Допустим, что молекула - материальная точка, и ее положение в сосуде - непрерывно распределенная случайная величина. Пусть дано, что в момент $t$ в точке $O$ оказалась молекула. Это событие имело нулевую вероятность? (Да/нет/некорректный вопрос). Но оно произошло? (Да/нет/некорректный вопрос) Если ответы "да и да", то я не вижу, почему не может произойти событие "в момент $t$ в точке $O$ столкнулись две молекулы".

[dgwuqtj]

В реальных опытах вероятности нет, есть только статистика. Точного положения молекул тоже нет, только малые области. И точных моментов времени нет... В тех опытах, где молекулы могут сталкиваться, их уже нельзя считать материальными точками, математическая модель неприменима.

Ну или применима в том смысле, что из, условно, $10^{12}$ опытов будет обнаружено только 7 столкновений.

[StudentV]

dgwuqtj в сообщении #1660667 писал(а):

В реальных опытах вероятности нет, есть только статистика. Точного положения молекул тоже нет, только малые области. И точных моментов времени нет...

Все это понятно. В реальных опытах нет ни материальных точек, ни абсолютно упругих ударов, ни идеального газа. Все это идеализации реальных явлений. Я спрашиваю не о реальности, а о модели.

Рассмотрим модель, в которой молекулы - материальные точки и не взаимодействуют на расстоянии. Вероятность, что в данный момент в данной точке окажется молекула, равна нулю? (да/нет/некорректный вопрос) Это событие возможно? (да/нет/некорректный вопрос). Вероятность, что в данный момент в данной точке окажется две молекулы, равна нулю? (да/нет/некорректный вопрос) Это событие возможно? (да/нет/некорректный вопрос).

[Утундрий]

Родственная "проблема века": прямая состоит из точек и имеет длину. Но у точки нет длины. Откуда же берётся длина прямой?

[dgwuqtj]

StudentV в сообщении #1660669 писал(а):

Рассмотрим модель, в которой молекулы - материальные точки и не взаимодействуют на расстоянии.

На все 4 вопроса ответ "да".

[Утундрий]

dgwuqtj
Поправьте цитату.

[StudentV]

Утундрий в сообщении #1660671 писал(а):

Родственная "проблема века": прямая состоит из точек и имеет длину. Но у точки нет длины. Откуда же берётся длина прямой?

В книге Е. С. Вентцель "Теория вероятностей" приводится эта аналогия, только не через длину, а через массу. Но нет, я спрашиваю не об этом. Этот вопрос решен в теории меры. Длина отрезка ни в каком смысле не складывается из длин точек.

Мой вопрос о том, возможны ли события с нулевой вероятностью. Вентцель прямо пишет, что возможны (выделение жирным шрифтом мое).

Цитата:

Вероятность любого отдельного значения непрерывной слу-чайной-величины равна нулю. Остановимся на этом положении несколько подробнее. В данном курсе мы уже встречались с событиями, вероятности которых были равны нулю: это были невозможные события. Теперь мы видим, что обладать нулевой вероятностно могут не только невозможные, но и возможные события. Действительно, событие $X = \alpha$, состоящее в том, что непрерывная случайная величина $X$ примет значение $\alpha$, возможно; однако вероятность его равна нулю. Такие события - возможные, но с нулевой вероятностью-появляются только при рассмотрении опытов, не сводящихся к схеме случаев. Понятие о событии возможном, но обладающем нулевой вероятностью, кажется на первый взгляд парадоксальным. В действительности оно не более парадоксально, чем представление о теле, имеющем определенную массу, тогда как ни одна из точек внутри тела определенной конечной массой не обладает. Сколь угодно малый объем, выделенный из тела, обладает определенной конечной массой; эта масса приближается к нулю по мере уменьшении объема и в пределе равна нулю для точки. Аналогично при непрерывном распределении в.роятгiостей вероятность попадания на сколь угодно малый участок может быть отлична от нуля, тогда как вероятность попадания в строго определенную точку в точности равна нулю. Если производится опыт, в котором непрерывная случайная величина $X$ должна принять одно из своих возможных значений, то до опыта вероятность каждого из таких значений равна нулю; однако, в исходе опыта случайная величина $X$ непременно примет одно из своих возможных значений, т. е. заведомо произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю. Из того, что событие $X = \alpha$ имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться, т. е. что частота этого события равна нулю. Мы знаем, что частота события при большом числе опытов не равна, а только приближается к вероятности. Из того, что вероятность события $X = \alpha$ равна нулю, следует только, что при неограниченном повторении опыта это событие будет появляться сколь угодно редко.

Однако drzewo, если я правильно его понял, сказал, что события с нулевой вероятностью невозможны. Что молекулы-материальные точки не сталкиваются, потому что вероятность их столкновения равна нулю. Для меня это была неожиданная мысль, что и вызвало мои вопросы.

Я отдаю себе отчет, что могу неправильно понимать процитированный учебник. Кроме того, он предназначен для ВТУЗов и, может быть, несколько грешит против математической строгости - во всяком случае, понятие вероятностного пространства там не определяется. Вот и пытаюсь разобраться, правильно ли я понимаю написанное в учебнике Вентцель и правильно ли мне в школе объясняли про идеальный газ.

[ShMaxG]

StudentV в сообщении #1660639 писал(а):

Пусть случайная величина распределена $X$ непрерывно с дифференциальным законом распределения $f(x)$. Дано: в результате опыта величина приняла значение $c$. Какова была вероятность, что она примет значение $c$? По-моему, эта вероятность была равна нулю, поскольку $P(X = c) = \int\limits_c^c f(x)dx=0$. Но событие произошло. Значит, события с нулевой вероятностью не являются невозможными.

Что не так в этом рассуждении?

Все верно.

StudentV в сообщении #1660648 писал(а):

Я бы даже конкретизировал этот вопрос. Произошло ли событие, вероятность которого была равна нулю?

Да, произошло.

В теории вероятностей невозможным называют событие, представляющем собой пустое множество исходов. Событие, состоящее в том, что случайная величина примет какое-то конкретное значение, не является пустым. У этого события есть вероятность и у непрерывной случайной величины она равна нулю.

Вот такая модель непрерывной случайной величины. Если исследователю такая модель не нравится или не подходит (например, он наблюдает не стремящуюся к нулю частоту данного исхода), он может предложить другую вероятностную модель (вероятностное пространство), которое бы точнее подходило его ситуации. А пока величина моделируется как непрерывная из теории вероятности -- описываемое выше событие будет возможным и будет иметь нулевую вероятность.

[Mikhail_K]

StudentV
Конечно, события с нулевой вероятностью возможны. Тут нет никакого вопроса.
Насколько я понимаю, drzewo имел в виду что-то вроде "теоретически возможны, а на практике не случаются". Если, конечно, мы не определили событие постфактум, когда оно уже случилось.
Диалог ведь, в котором возник этот вопрос, был не про математику, а про молекулы газа.