2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Пуск ракеты с экватора
Сообщение03.11.2024, 20:25 


22/11/13
147
С экватора Земли стартует ракета массой m вертикально вверх с ускорением 10g.
Силу тяги ракеты считать постоянной и равной 10gm.
При достижении модуля скорости ракеты V=10 км/с двигатель ракеты отключается.
Найти параметры орбиты ракеты.
Врежется ли ракета в Землю? Если да, то под каким углом носовой частью к горизонту?

Мои соображения.
Составим дифференциальное уравнение движения ракеты.
На ракету действуют две силы - сила притяжения Земли и сила тяги ракеты.
$\ddot{\vec{r}}=-\frac{\gamma M\vec{r}}{r^3}+\vec{a}$
В проекциях
$\ddot{x}=-\frac{\gamma Mx}{r^3}+a_x$ (1)
$\ddot{y}=-\frac{\gamma My}{r^3}+a_y$ (2)
M масса Земли
Начальные условия:
При t=0, x=R, $\ddot(x)=0$, $\ddot(y)=u$,y=0,$a_x=a,a_y=0$
Конечные условия:
$t=t_1,\ddot(r)=V$
R радиус Земли.
В силу закона сохранения момента импульса ракета во время своего движения вращается с постоянной угловой скоростью
$\omega _0=\frac{u}{R}$

Вопрос:
Возможно ли решение данной задачи аналитическим способом.
У меня не получается взять интеграл
$a\int [\dot{x} \cos(\omega _0t)+\dot{y} \cos(\omega _0t)]dt$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуск ракеты с экватора
Сообщение03.11.2024, 20:33 
Админ форума


02/02/19
2470
 i  ludwig51
Даже отдельные обозначения нужно оформлять как формулы. Не "ускорение 10g", а ускорение $10g$", и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуск ракеты с экватора
Сообщение04.11.2024, 06:30 
Заслуженный участник


16/02/13
4179
Владивосток
ludwig51 в сообщении #1660531 писал(а):
Составим дифференциальное уравнение движения ракеты
Уравнение движения ракеты не такое из-за переменности массы ракеты. Поищите формулы Циолковского и Мещерского.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуск ракеты с экватора
Сообщение04.11.2024, 06:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
iifat в сообщении #1660566 писал(а):
Поищите формулы Циолковского и Мещерского.
Задача поставлена криво, и рассчитана на постоянство массы ракеты; чтобы поставить ее правильно надо знать расход топлива (др словами, скорость истечения, или в принятой у ракетчиков терминологии, удельный импульс).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуск ракеты с экватора
Сообщение04.11.2024, 08:31 


07/10/24
11
ludwig51
Перейдите в неИСО радиуса-вектора

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуск ракеты с экватора
Сообщение04.11.2024, 10:18 


14/01/11
3019
Red_Herring в сообщении #1660567 писал(а):
Задача поставлена криво, и рассчитана на постоянство массы ракеты;

Может, ракета ускоряется с Земли мощным лазером. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуск ракеты с экватора
Сообщение04.11.2024, 11:46 


21/12/16
721
имеется уравнение типа
$$\boldsymbol {\ddot r}=-\gamma\frac{\boldsymbol r}{|\boldsymbol r|^3}+\boldsymbol f.\qquad(*)$$
Причем $\boldsymbol {\dot r}(0)$ не параллелен $ \boldsymbol r(0)$ -- если учитывать вращение земли. Раз сказано, что с экватора -- то, наверное, надо учитывать.
Дальше я вижу два варианта постановки задачи:
1) $\boldsymbol f$ -- постоянный вектор в инерциальной системе отсчета -- переменные разделяются в параболических координатах -- слишком сложно для учебного вопроса
2) $\boldsymbol f=f\frac{\boldsymbol r}{|\boldsymbol r|}$ -- если это так, то домножаем скалярно (*) на $\boldsymbol{\dot r}$ и получаем интеграл типа интеграла энергии. Интеграл площадей тоже имеется. Задача решается в полярных координатах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуск ракеты с экватора
Сообщение04.11.2024, 13:04 


21/12/16
721
ludwig51 в сообщении #1660531 писал(а):
В силу закона сохранения момента импульса ракета во время своего движения вращается с постоянной угловой скоростью
$\omega _0=\frac{u}{R}$

Вопрос:
Возможно ли решение данной задачи аналитическим способом.
У меня не получается взять интеграл
$a\int [\dot{x} \cos(\omega _0t)+\dot{y} \cos(\omega _0t)]dt$

это неверно все

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуск ракеты с экватора
Сообщение04.11.2024, 14:24 


22/11/13
147
ludwig51 в сообщении #1660531 писал(а):
Ошибки исправил.
Для упрощения решения задачи масса ракеты принята постояной.
Например, используется ядерный реактор.

С экватора Земли стартует ракета массой m вертикально вверх с ускорением $10g$.
Силу тяги ракеты считать постоянной и равной $10gm$.
Массой расхода топлива пренебречь.
При достижении модуля скорости ракеты $V_1=10$ км/с
двигатель ракеты отключается.
Найти параметры орбиты ракеты.
Врежется ли ракета в Землю? Если да, то под каким углом носовой частью к горизонту?

Мои соображения.
Составим дифференциальное уравнение движения ракеты.
На ракету действуют две силы - сила притяжения Земли и сила тяги ракеты.
$\ddot{\vec{r}}=-\frac{\gamma M\vec{r}}{r^3}+\vec{a}$
В проекциях
$\ddot{x}=-\frac{\gamma Mx}{r^3}+a_x$ (1)
$\ddot{y}=-\frac{\gamma My}{r^3}+a_y$ (2)
M масса Земли
Начальные условия:
При $t=0,\, x=R,\, \dot{x}=0, \,\dot{y}=u,\,y=0,\,a_x=a,\,a_y=0$
Конечные условия:
$t=t_1,\,\dot{r}=V_1$
R радиус Земли.
В силу закона сохранения момента импульса ракета во время своего движения вращается с постоянной угловой скоростью
$\omega _0=\frac{u}{R}$

Вопрос:
Возможно ли решение данной задачи аналитическим способом.
У меня не получается взять интеграл
$a\int [\dot{x} \cos(\omega _0t)+\dot{y} \sin(\omega _0t)]dt$

Вопрос:
Возможно ли решение данной задачи аналитическим способом.
У меня не получается взять интеграл
$a\int [\dot{x} \cos(\omega _0t)+\dot{y} \cos(\omega _0t)]dt$
Это часть интеграла энергии
$\frac{V^2}{2}=\frac{\gamma M}{r}+a\int [\dot{x} \cos(\omega _0t)+\dot{y} \sin(\omega _0t)]dt+C_1$
Интеграл момента импульса
$\int(\ddot{y}x-a_yx)dt=\int(\ddot{x}y-a_xy)dt$
$\dot{y}x-\dot{x}y=\int(a_yx-a_xy)dt$
$\dot{y}x-\dot{x}y=a\int(\sin(\omega _0t)x-\cos(\omega _0t)y)dt+C_2$
Имеются интегралы, которые не берутся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуск ракеты с экватора
Сообщение04.11.2024, 14:34 


21/12/16
721
Ну, понятно. Как от стенки горох.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуск ракеты с экватора
Сообщение04.11.2024, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
drzewo в сообщении #1660584 писал(а):
1) $\boldsymbol f$ -- постоянный вектор в инерциальной системе отсчета -- переменные разделяются в параболических координатах -- слишком сложно для учебного вопроса
Поскольку взлетит невысоко, можно попробовать линеаризовать гравитационный потенциал (считать, что притяжение - $mg\frac{\mathbf{r}}{r}$). Поможет ли это - сходу не соображу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуск ракеты с экватора
Сообщение04.11.2024, 14:44 


21/12/16
721
Я думаю там второй вариант предполагается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуск ракеты с экватора
Сообщение04.11.2024, 15:49 


22/11/13
147
amon в сообщении #1660609 писал(а):
drzewo в сообщении #1660584 писал(а):
1) $\boldsymbol f$ -- постоянный вектор в инерциальной системе отсчета -- переменные разделяются в параболических координатах -- слишком сложно для учебного вопроса
Поскольку взлетит невысоко, можно попробовать линеаризовать гравитационный потенциал (считать, что притяжение - $mg\frac{\mathbf{r}}{r}$). Поможет ли это - сходу не соображу.

Высота подъëма будет около 500 км.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуск ракеты с экватора
Сообщение04.11.2024, 15:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
ludwig51 в сообщении #1660531 писал(а):
В силу закона сохранения момента импульса
Момент импульса не сохраняется. Если сила, действующая на ракету, постоянна в ИСО (вариант 1 по drzewo), то сохраняется проекция момента на направление силы, от которой толку чуть.

-- 04.11.2024, 15:54 --

ludwig51 в сообщении #1660612 писал(а):
Высота подъëма будет около 500 км.
А радиус Земли 6400.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуск ракеты с экватора
Сообщение04.11.2024, 19:17 
Заслуженный участник


03/01/09
1700
москва
ludwig51 в сообщении #1660612 писал(а):
Высота подъëма будет около 500 км.

Взлетит, конечно, гораздо выше, потому что конечная скорость $10$ км/с близка ко второй космической.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group