Пуск ракеты с экватора

[ludwig51]

ludwig51 в сообщении #1660889 писал(а):

ludwig51 в сообщении #1660833 писал(а):

$t=\displaystyle\int\limits_{R}^{R+h}\frac{dy}{\sqrt{2(ay+ \frac{gR^2 }{y}-aR-gR)}}$
Такой интеграл не берëтся.
Можно разложить функцию $\frac{gR^2 }{y}$ в ряд Тейлора до квадратичного члена.

Разложим нашу функцию в ряд Тейлора в окресноти точки $y_0=R+h/2$
$\frac{gR^2 }{y}=gR^2(\frac{1 }{y_0}-\frac{y-y_0 }{y_0^2}+\frac{(y-y_0)^2 }{y_0^3})$
Подставим это разложение в наш интеграл, выделим полный квадрат и подставим числовые значения.
$t=\displaystyle\int\limits_{R}^{R+h}\frac{dy}{\sqrt{(0,001642y+43,3)^2-2895}}$
Это табличный интеграл - гиперболический арккосинус.
Получим время подъëма до высоты 561 км и скорости 10 км/сек $t\approx 106$ секунд.

[ludwig51]

Возвращаемся к первоначальной задаче.
Введëм новое условие к прежним двум.
Центр масс ракеты находится ближе к корме.
Тогда при полëте корма всегда будет обращена к Земле.
То есть вектор ускорения силы тяги ракеты будет совпадать с радиус-вектором.
Напоминаю прежние два условия-сопротивление воздуха не учитываем и массу ракеты считаем постоянной.

Уравнение движеня:
$ \displaystyle\vec{\ddot {r}}=\frac{a\vec{r}}{r} -\frac{\gamma M\vec r}{r^3}$
Ракета стартует по оси $x$.
$ \displaystyle\ddot {x}=\frac{ax}{r} -\frac{\gamma Mx}{r^3}$ (1)
$ \displaystyle\ddot {y}=\frac{ay}{r} -\frac{\gamma My}{r^3}$ (2)
Получаем интегралы энегрии и момента импульса.
Эти действия были ранее.
$V^2=2ar+\frac{2\gamma M}{r}+2C_1$ (3)
$C_1=\frac{u^2}{2}-aR-gR$
$x \dot{y}-y \dot{x}=C_2$
$C_2=uR=\frac{2\pi R^2}{T_З}$
$T=24\cdot3600$ сек
Продолжение следует...

[ludwig51]

ludwig51 в сообщении #1661038 писал(а):

Уравнение движеня:
$ \displaystyle\vec{\ddot {r}}=\frac{a\vec{r}}{r} -\frac{\gamma M\vec r}{r^3}$
Ракета стартует по оси $x$.
$ \displaystyle\ddot {x}=\frac{ax}{r} -\frac{\gamma Mx}{r^3}$ (1)
$ \displaystyle\ddot {y}=\frac{ay}{r} -\frac{\gamma My}{r^3}$ (2)
Получаем интегралы энегрии и момента импульса.
Эти действия были ранее.
$V^2=2ar+\frac{2\gamma M}{r}+2C_1$ (3)
$C_1=\frac{u^2}{2}-aR-gR$
$x \dot{y}-y \dot{x}=C_2$ (4)
$C_2=uR=\frac{2\pi R^2}{T_З}$
$T=24\cdot3600$ сек

Из уравнения (4) видно, что момент импульса не зависит от ускорения силы тяги ракеты.
То есть $C_2=\operatorname{const}$
Это следует также из физического смысла.
Вектора ускорения $\vec a$ и $\vec r$ совпадают.
Найдëм высоту подъëма ракеты из баланса энергий
$\frac{E_0}{m}+ah=\frac{V_1^2}{2}-\frac{gR^2}{R+h}$ (5)
$E_{0\operatorname{pr} }=\frac{u^2}{2}-gR$ приведëная начальная энергия
Подставим в (5) скорость в конце подъëма и получим
$h\approx 560,1$ км
Энергия в конце подъëма с ускорением
$E_{\operatorname{pr} }=E_{0\operatorname{pr} }+ah$
Находим параметры орбиты из закоконов сохранения
Продолжение следует...

[ludwig51]

ludwig51 в сообщении #1661121 писал(а):

ludwig51 в сообщении #1661038 писал(а):

Находим параметры орбиты из законов сохранения
Продолжение следует...

$ \frac{V_\varepsilon ^2}{2}-\frac{gR^2}{R_\varepsilon }=E_{ \operatorname{pr}}$
$R_\varepsilon V_\varepsilon=C_2$
$ E_{ \operatorname{pr}}\approx -7,73$ $\operatorname{(km/c})^2$
$C_2 \approx 2979$ $\operatorname{km}^2/c$

$R_\varepsilon,\, V_\varepsilon$ радиус и скорость в перигее/апогее
Решая совместно эти два уравнения, получим
$R_{ \operatorname{per}}=11$ км
$R_{ \operatorname{ap}}=51959$ км
Скорость в апогее 57,3 м/c

$a=\frac{11,043+51962}{2}=25985$ км - большая полуось
$R_{ \operatorname{ap}}=a(1+\varepsilon)$
$\varepsilon=\frac{R_{ \operatorname{ap}}}{a}-1=\frac{51959}{25985}-1=0,999577$