Пуск ракеты с экватора

[ludwig51]

С экватора Земли стартует ракета массой m вертикально вверх с ускорением 10g.
Силу тяги ракеты считать постоянной и равной 10gm.
При достижении модуля скорости ракеты V=10 км/с двигатель ракеты отключается.
Найти параметры орбиты ракеты.
Врежется ли ракета в Землю? Если да, то под каким углом носовой частью к горизонту?

Мои соображения.
Составим дифференциальное уравнение движения ракеты.
На ракету действуют две силы - сила притяжения Земли и сила тяги ракеты.
$\ddot{\vec{r}}=-\frac{\gamma M\vec{r}}{r^3}+\vec{a}$
В проекциях
$\ddot{x}=-\frac{\gamma Mx}{r^3}+a_x$ (1)
$\ddot{y}=-\frac{\gamma My}{r^3}+a_y$ (2)
M масса Земли
Начальные условия:
При t=0, x=R, $\ddot(x)=0$, $\ddot(y)=u$,y=0,$a_x=a,a_y=0$
Конечные условия:
$t=t_1,\ddot(r)=V$
R радиус Земли.
В силу закона сохранения момента импульса ракета во время своего движения вращается с постоянной угловой скоростью
$\omega _0=\frac{u}{R}$

Вопрос:
Возможно ли решение данной задачи аналитическим способом.
У меня не получается взять интеграл
$a\int [\dot{x} \cos(\omega _0t)+\dot{y} \cos(\omega _0t)]dt$

[Ende]

ludwig51
Даже отдельные обозначения нужно оформлять как формулы. Не "ускорение 10g", а ускорение $10g$", и т.д.

[iifat]

ludwig51 в сообщении #1660531 писал(а):

Составим дифференциальное уравнение движения ракеты

Уравнение движения ракеты не такое из-за переменности массы ракеты. Поищите формулы Циолковского и Мещерского.

[Red_Herring]

iifat в сообщении #1660566 писал(а):

Поищите формулы Циолковского и Мещерского.

Задача поставлена криво, и рассчитана на постоянство массы ракеты; чтобы поставить ее правильно надо знать расход топлива (др словами, скорость истечения, или в принятой у ракетчиков терминологии, удельный импульс).

[Dashik007]

ludwig51
Перейдите в неИСО радиуса-вектора

[Sender]

Red_Herring в сообщении #1660567 писал(а):

Задача поставлена криво, и рассчитана на постоянство массы ракеты;

Может, ракета ускоряется с Земли мощным лазером.

[drzewo]

имеется уравнение типа

$$\boldsymbol {\ddot r}=-\gamma\frac{\boldsymbol r}{|\boldsymbol r|^3}+\boldsymbol f.\qquad(*)$$

Причем $\boldsymbol {\dot r}(0)$ не параллелен $ \boldsymbol r(0)$ -- если учитывать вращение земли. Раз сказано, что с экватора -- то, наверное, надо учитывать.
Дальше я вижу два варианта постановки задачи:
1) $\boldsymbol f$ -- постоянный вектор в инерциальной системе отсчета -- переменные разделяются в параболических координатах -- слишком сложно для учебного вопроса
2) $\boldsymbol f=f\frac{\boldsymbol r}{|\boldsymbol r|}$ -- если это так, то домножаем скалярно (*) на $\boldsymbol{\dot r}$ и получаем интеграл типа интеграла энергии. Интеграл площадей тоже имеется. Задача решается в полярных координатах.

[drzewo]

ludwig51 в сообщении #1660531 писал(а):

В силу закона сохранения момента импульса ракета во время своего движения вращается с постоянной угловой скоростью
$\omega _0=\frac{u}{R}$

Вопрос:
Возможно ли решение данной задачи аналитическим способом.
У меня не получается взять интеграл
$a\int [\dot{x} \cos(\omega _0t)+\dot{y} \cos(\omega _0t)]dt$

это неверно все

[ludwig51]

ludwig51 в сообщении #1660531 писал(а):

Ошибки исправил.
Для упрощения решения задачи масса ракеты принята постояной.
Например, используется ядерный реактор.

С экватора Земли стартует ракета массой m вертикально вверх с ускорением $10g$.
Силу тяги ракеты считать постоянной и равной $10gm$.
Массой расхода топлива пренебречь.
При достижении модуля скорости ракеты $V_1=10$ км/с
двигатель ракеты отключается.
Найти параметры орбиты ракеты.
Врежется ли ракета в Землю? Если да, то под каким углом носовой частью к горизонту?

Мои соображения.
Составим дифференциальное уравнение движения ракеты.
На ракету действуют две силы - сила притяжения Земли и сила тяги ракеты.
$\ddot{\vec{r}}=-\frac{\gamma M\vec{r}}{r^3}+\vec{a}$
В проекциях
$\ddot{x}=-\frac{\gamma Mx}{r^3}+a_x$ (1)
$\ddot{y}=-\frac{\gamma My}{r^3}+a_y$ (2)
M масса Земли
Начальные условия:
При $t=0,\, x=R,\, \dot{x}=0, \,\dot{y}=u,\,y=0,\,a_x=a,\,a_y=0$
Конечные условия:
$t=t_1,\,\dot{r}=V_1$
R радиус Земли.
В силу закона сохранения момента импульса ракета во время своего движения вращается с постоянной угловой скоростью
$\omega _0=\frac{u}{R}$

Вопрос:
Возможно ли решение данной задачи аналитическим способом.
У меня не получается взять интеграл
$a\int [\dot{x} \cos(\omega _0t)+\dot{y} \sin(\omega _0t)]dt$

Вопрос:
Возможно ли решение данной задачи аналитическим способом.
У меня не получается взять интеграл
$a\int [\dot{x} \cos(\omega _0t)+\dot{y} \cos(\omega _0t)]dt$
Это часть интеграла энергии
$\frac{V^2}{2}=\frac{\gamma M}{r}+a\int [\dot{x} \cos(\omega _0t)+\dot{y} \sin(\omega _0t)]dt+C_1$
Интеграл момента импульса
$\int(\ddot{y}x-a_yx)dt=\int(\ddot{x}y-a_xy)dt$
$\dot{y}x-\dot{x}y=\int(a_yx-a_xy)dt$
$\dot{y}x-\dot{x}y=a\int(\sin(\omega _0t)x-\cos(\omega _0t)y)dt+C_2$
Имеются интегралы, которые не берутся.

[drzewo]

Ну, понятно. Как от стенки горох.

[amon]

drzewo в сообщении #1660584 писал(а):

1) $\boldsymbol f$ -- постоянный вектор в инерциальной системе отсчета -- переменные разделяются в параболических координатах -- слишком сложно для учебного вопроса

Поскольку взлетит невысоко, можно попробовать линеаризовать гравитационный потенциал (считать, что притяжение - $mg\frac{\mathbf{r}}{r}$). Поможет ли это - сходу не соображу.

[drzewo]

Я думаю там второй вариант предполагается.

[ludwig51]

amon в сообщении #1660609 писал(а):

drzewo в сообщении #1660584 писал(а):

1) $\boldsymbol f$ -- постоянный вектор в инерциальной системе отсчета -- переменные разделяются в параболических координатах -- слишком сложно для учебного вопроса

Поскольку взлетит невысоко, можно попробовать линеаризовать гравитационный потенциал (считать, что притяжение - $mg\frac{\mathbf{r}}{r}$). Поможет ли это - сходу не соображу.

Высота подъëма будет около 500 км.

[amon]

ludwig51 в сообщении #1660531 писал(а):

В силу закона сохранения момента импульса

Момент импульса не сохраняется. Если сила, действующая на ракету, постоянна в ИСО (вариант 1 по drzewo), то сохраняется проекция момента на направление силы, от которой толку чуть.

-- 04.11.2024, 15:54 --

ludwig51 в сообщении #1660612 писал(а):

Высота подъëма будет около 500 км.

А радиус Земли 6400.

[mihiv]

ludwig51 в сообщении #1660612 писал(а):

Высота подъëма будет около 500 км.

Взлетит, конечно, гораздо выше, потому что конечная скорость $10$ км/с близка ко второй космической.