2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Прямоугольный треугольник в равностороннем
Сообщение02.11.2024, 15:06 


05/09/16
12061
Внутри равностороннего треугольника выбрали точку. От этой точки провели три отрезка к вершинам треугольника. Оказалось, что сумма квадратов длин двух отрезков равна квадрату длины третьего.
Найти угол между двумя меньшими отрезками.
Изображение
См. рисунок, найти угол $\varphi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Прямоугольный треугольник в равностороннем
Сообщение02.11.2024, 16:45 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
Ставлю на 150 градусов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прямоугольный треугольник в равностороннем
Сообщение02.11.2024, 16:49 


05/09/16
12061
Бонус-вопрос: найти ГМТ точки $K$

 Профиль  
                  
 
 Re: Прямоугольный треугольник в равностороннем
Сообщение02.11.2024, 16:51 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
Если моя гипотеза верна, то ответ очевиден --- дуга соответствующей окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прямоугольный треугольник в равностороннем
Сообщение02.11.2024, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
Между двумя наименьшими отрезками два угла - $30$ и $150$ градусов.
Точку можно выбирать внутри и можно снаружи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прямоугольный треугольник в равностороннем
Сообщение02.11.2024, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3131
Уфа
В принципе, координатный метод приводит к результату, до которого уже догадались.
Но это как-то неспортивно.
Есть ли красивое геометрическое решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Прямоугольный треугольник в равностороннем
Сообщение02.11.2024, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
562
so dna
Есть алгебраическое решение

$\begin{cases} 
a^2+c^2-2ac\cos\alpha=d^2\\ 
b^2+c^2-2bc\cos\beta=d^2\\ 
a^2+b^2-2ab\cos\varphi=d^2\\
a^2+b^2=c^2
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} 
a^2-2ac\cos\alpha+2ab\cos\varphi=0\\ 
b^2-2bc\cos\beta+2ab\cos\varphi=0
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} 
\cos\alpha=\dfrac{a+2b\cos\varphi}{2c}\\ 
\cos\beta=\dfrac{b+2a\cos\varphi}{2c}
\end{cases}$

$x=\cos\varphi=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{(a+2bx)(b+2ax)}{4c^2}-\dfrac{\sqrt{\bigl(4c^2-(a+2bx)^2\bigr)\bigl(4c^2-(b+2ax)^2\bigr)}}{4c^2}$

откуда, учитывая $a^2+b^2=c^2$

$\bigl(2abx-b^2-a^2\bigr)\bigl(4x^2-3\bigr)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Прямоугольный треугольник в равностороннем
Сообщение02.11.2024, 21:00 


05/09/16
12061
worm2 в сообщении #1660431 писал(а):
Есть ли красивое геометрическое решение?

Ещё как есть! 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Прямоугольный треугольник в равностороннем
Сообщение02.11.2024, 21:56 
Заслуженный участник


20/04/10
1877
Нужно вырезать треугольник со сторонами $a,b$ и приложить его к треугольнику со сторонами $b,c$, совместить равные стороны исходного равностороннего треугольника. Заметить, что полученный четырёхугольник будет состоять из прямоугольного треугольника и равностороннего со стороной $b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прямоугольный треугольник в равностороннем
Сообщение03.11.2024, 08:09 


05/09/16
12061
lel0lel
Да, или просто повернуть исходный треугольник вокруг одной из вершин куда проведены меньшие отрезки.

Видеорешение: https://rutube.ru/video/87eb74cf00abada ... 5b5c0c33b/

Скриншот из видеорешения (повернули вокруг вершины, в которую проведён $a$ ):
Изображение

Ну и вот ответ на
wrest в сообщении #1660423 писал(а):
Бонус-вопрос: найти ГМТ точки $K$


Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Прямоугольный треугольник в равностороннем
Сообщение03.11.2024, 08:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
562
so dna
:appl:

 Профиль  
                  
 
 Re: Прямоугольный треугольник в равностороннем
Сообщение03.11.2024, 08:59 


05/09/16
12061
Ну естественно, отсюда видно, что и градусные меры двух других углов между отрезками $a,b,c$ представляют из себя сумму 60 градусов и градусной меры острых углов прямоугольного треугольника, который можно составить из отрезков $a,b,c$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group