Прямоугольный треугольник в равностороннем

[wrest]

Внутри равностороннего треугольника выбрали точку. От этой точки провели три отрезка к вершинам треугольника. Оказалось, что сумма квадратов длин двух отрезков равна квадрату длины третьего.
Найти угол между двумя меньшими отрезками.

См. рисунок, найти угол $\varphi$

[nnosipov]

Ставлю на 150 градусов.

[wrest]

Бонус-вопрос: найти ГМТ точки $K$

[nnosipov]

Если моя гипотеза верна, то ответ очевиден --- дуга соответствующей окружности.

[TOTAL]

Между двумя наименьшими отрезками два угла - $30$ и $150$ градусов.
Точку можно выбирать внутри и можно снаружи.

[worm2]

В принципе, координатный метод приводит к результату, до которого уже догадались.
Но это как-то неспортивно.
Есть ли красивое геометрическое решение?

[Rak so dna]

Есть алгебраическое решение

$\begin{cases} a^2+c^2-2ac\cos\alpha=d^2\\ b^2+c^2-2bc\cos\beta=d^2\\ a^2+b^2-2ab\cos\varphi=d^2\\ a^2+b^2=c^2 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} a^2-2ac\cos\alpha+2ab\cos\varphi=0\\ b^2-2bc\cos\beta+2ab\cos\varphi=0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} \cos\alpha=\dfrac{a+2b\cos\varphi}{2c}\\ \cos\beta=\dfrac{b+2a\cos\varphi}{2c} \end{cases}$

$x=\cos\varphi=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{(a+2bx)(b+2ax)}{4c^2}-\dfrac{\sqrt{\bigl(4c^2-(a+2bx)^2\bigr)\bigl(4c^2-(b+2ax)^2\bigr)}}{4c^2}$

откуда, учитывая $a^2+b^2=c^2$

$\bigl(2abx-b^2-a^2\bigr)\bigl(4x^2-3\bigr)=0$

[wrest]

worm2 в сообщении #1660431 писал(а):

Есть ли красивое геометрическое решение?

Ещё как есть!

[lel0lel]

Нужно вырезать треугольник со сторонами $a,b$ и приложить его к треугольнику со сторонами $b,c$, совместить равные стороны исходного равностороннего треугольника. Заметить, что полученный четырёхугольник будет состоять из прямоугольного треугольника и равностороннего со стороной $b$.

[wrest]

lel0lel
Да, или просто повернуть исходный треугольник вокруг одной из вершин куда проведены меньшие отрезки.

Видеорешение: https://rutube.ru/video/87eb74cf00abada ... 5b5c0c33b/

Скриншот из видеорешения (повернули вокруг вершины, в которую проведён $a$ ):


Ну и вот ответ на

wrest в сообщении #1660423 писал(а):

Бонус-вопрос: найти ГМТ точки $K$

[Rak so dna]

[wrest]

Ну естественно, отсюда видно, что и градусные меры двух других углов между отрезками $a,b,c$ представляют из себя сумму 60 градусов и градусной меры острых углов прямоугольного треугольника, который можно составить из отрезков $a,b,c$.