2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обычные предельчики
Сообщение28.10.2024, 00:36 


04/06/22
65
Здравствуйте, столкнулся с задачей:
"Верно ли, что если $$\lim\limits_{x\to0}^{}f(x) = 0$$ и $$\lim\limits_{x\to0}^{}\frac{f(x) - f(2x)}{x} = 0$$, то $$\lim\limits_{x\to0}^{}\frac{f(x)}{x} = 0$$?"
Пробовал,крутил, вертел, а строго доказать не получается. Контрпримеры разные пробовал подбирать - не получается. Возникла идея доказать от противного, что, дескать, пусть последний предел равен $A \ne 0$, что-то содержательное даже получилось. Действительно, $A$ не может быть ненулевым числом, т.к. там возникает противоречие со вторым условием, но что делать, если $A$ является бесконечностью или вообще предела нет - не знаю. Прошу помощи, задача на вид кажется простенькой будто

 Профиль  
                  
 
 Re: Обычные предельчики
Сообщение28.10.2024, 02:50 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
Это, кстати, задача из школьного учебника, меня полгода назад впечатлила. От противного не нужно здесь доказывать. Попробуйте оценить разность $f(x)-f(x/2^n)$ для достаточно малого $x$ и каждого натурального $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обычные предельчики
Сообщение28.10.2024, 02:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Подсказка: $f(x) = \sum\limits_{k=0}^n 2^{-k} x \cdot \frac{f(2^{-k}x) - f(2^{-k-1}x)}{2^{-k}x} + f(2^{-n-1}x)$ (вообще для любой функции).

 Профиль  
                  
 
 Re: Обычные предельчики
Сообщение28.10.2024, 03:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
Нужно сменить "направление мысли" переписав
Laguna в сообщении #1659834 писал(а):
$$\lim\limits_{x\to0}^{}\frac{f(x) - f(2x)}{x} = 0$$
в виде $$\lim\limits_{x\to0}^{}\frac{f(x) - f(x/2)}{x} = 0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обычные предельчики
Сообщение28.10.2024, 10:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Предположим, что этот предел не равен нулю. $$\lim\limits_{x\to0}^{}\frac{f(x)}{x} = A\ne 0$$
Тогда $$\lim\limits_{x\to0}^{}\frac{f(2x)}{2x} = A$$ и $$\lim\limits_{x\to0}^{}\frac{f(2x)}{x} = 2A$$
Варианты "предела нет" или "он равен бесконечности" исключаются вторым условием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обычные предельчики
Сообщение28.10.2024, 10:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
Евгений Машеров в сообщении #1659877 писал(а):
Варианты "предела нет" или "он равен бесконечности" исключаются вторым условием.
Почему это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обычные предельчики
Сообщение28.10.2024, 10:30 


14/02/20
863
post1580904.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Обычные предельчики
Сообщение28.10.2024, 11:07 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
Евгений Машеров в сообщении #1659877 писал(а):
Варианты "предела нет" или "он равен бесконечности" исключаются вторым условием.
Как именно исключаются? Нужны подробности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group