Обычные предельчики

[Laguna]

Здравствуйте, столкнулся с задачей:
"Верно ли, что если

$$\lim\limits_{x\to0}^{}f(x) = 0$$

и

$$\lim\limits_{x\to0}^{}\frac{f(x) - f(2x)}{x} = 0$$

, то

$$\lim\limits_{x\to0}^{}\frac{f(x)}{x} = 0$$

?"
Пробовал,крутил, вертел, а строго доказать не получается. Контрпримеры разные пробовал подбирать - не получается. Возникла идея доказать от противного, что, дескать, пусть последний предел равен $A \ne 0$, что-то содержательное даже получилось. Действительно, $A$ не может быть ненулевым числом, т.к. там возникает противоречие со вторым условием, но что делать, если $A$ является бесконечностью или вообще предела нет - не знаю. Прошу помощи, задача на вид кажется простенькой будто

[nnosipov]

Это, кстати, задача из школьного учебника, меня полгода назад впечатлила. От противного не нужно здесь доказывать. Попробуйте оценить разность $f(x)-f(x/2^n)$ для достаточно малого $x$ и каждого натурального $n$.

[mihaild]

Подсказка: $f(x) = \sum\limits_{k=0}^n 2^{-k} x \cdot \frac{f(2^{-k}x) - f(2^{-k-1}x)}{2^{-k}x} + f(2^{-n-1}x)$ (вообще для любой функции).

[Утундрий]

Нужно сменить "направление мысли" переписав

Laguna в сообщении #1659834 писал(а):

$$\lim\limits_{x\to0}^{}\frac{f(x) - f(2x)}{x} = 0$$

в виде

$$\lim\limits_{x\to0}^{}\frac{f(x) - f(x/2)}{x} = 0$$

[Евгений Машеров]

Предположим, что этот предел не равен нулю.

$$\lim\limits_{x\to0}^{}\frac{f(x)}{x} = A\ne 0$$

Тогда

$$\lim\limits_{x\to0}^{}\frac{f(2x)}{2x} = A$$

и

$$\lim\limits_{x\to0}^{}\frac{f(2x)}{x} = 2A$$

Варианты "предела нет" или "он равен бесконечности" исключаются вторым условием.

[Утундрий]

Евгений Машеров в сообщении #1659877 писал(а):

Варианты "предела нет" или "он равен бесконечности" исключаются вторым условием.

Почему это?

[artempalkin]

post1580904.html

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1659877 писал(а):

Варианты "предела нет" или "он равен бесконечности" исключаются вторым условием.

Как именно исключаются? Нужны подробности.