Неопределенный интеграл особого вида

[Combat Zone]

нет, я привожу к виду, который интегрируется.
А для вас записываю, что да, он действительно тот же.
Просто чтобы короче был наш разговор. Но чувствую, что от этого больше непонимания.

Смотрите, когда вы интегрируете по частям, вы там не вынуждены ничего будто бы случайно угадывать и подбирать? Неважно, что угодно интегрируете?

-- 17.10.2024, 15:28 --

artempalkin в сообщении #1658827 писал(а):

Но все же... видите, результат как бы получается "случайно". Нельзя назвать этот метод последовательным... В общем, вердикт в том, что, видимо, последовательного метода тут нет...

Нельзя. Нет. Было бы не $ \frac{1}{2\cos^2 x/2}+ \tg \frac x2$, а $\frac{1}{4\cos^2 x/2}+ \tg \frac x2$, уже интеграл не выражался бы в элементарных. А вы общих методов хотите, когда изменение коэффициента может существенно все поменять.

[artempalkin]

Combat Zone
Если что, я light-hearted, просто рассуждаю и обсуждаю :)

Combat Zone в сообщении #1658829 писал(а):

нет, я привожу к виду, который интегрируется.

Но разве вы не приводите к виду $\int(u'+u)e^xdx$, и по сути достаточно случайно это получается? в каком плане "вид, который интегрируется"?

Combat Zone в сообщении #1658829 писал(а):

угадывать и подбирать

Хммм, соглашусь отчасти. Все же там есть гораздо более прозрачные правила. Вам сложно будет создать интеграл, который мне прямо будет неочевидно, как взять по частям. Я же возьму любую достаточно сложную рац. дробь (еще и от триг. функций), закину в формулу, и, думаю, у вас может существенно времени уйти на решение этой задачи, особенно если еще заранее я какие-то триг. преобразования проведу

-- 17.10.2024, 16:33 --

Combat Zone в сообщении #1658829 писал(а):

А вы общих методов хотите, когда изменение коэффициента может существенно все поменять.

Да, согласен, это вполне себе довод в пользу отсутствия общего метода

[Combat Zone]

artempalkin в сообщении #1658832 писал(а):

в каком плане "вид, который интегрируется"?

Вот в этом самом:

artempalkin в сообщении #1658832 писал(а):

Да, согласен, это вполне себе довод в пользу отсутствия общего метода

artempalkin в сообщении #1658832 писал(а):

Но разве вы не приводите к виду $\int(u'+u)e^xdx$, и по сути достаточно случайно это получается?

Нет, я не привожу к этому виду. Я пытаюсь вычленить слагаемые, у которых видны первообразные или небесперспективно их вычисление по частям. Мне повезло, успешно - коэффициенты равные оказались, и плохой, неберущийся интеграл сократился.

Это то, что на вашем языке называется разбить на функцию и производную.

-- 17.10.2024, 15:40 --

artempalkin в сообщении #1658832 писал(а):

Вам сложно будет создать интеграл, который мне прямо будет неочевидно, как взять по частям.

Вообще-то не будет )
Будет некогда, будет лень, а таких примеров предостаточно. Если кто-то будет менее ленивый, принесет.

[artempalkin]

Combat Zone в сообщении #1658837 писал(а):

Я пытаюсь вычленить слагаемые, у которых видны первообразные или небесперспективно их вычисление по частям.

Возможно, это и есть какой-то "общий" метод. Если отделить хотя бы часть $u'$ (грубо говоря, $u'-v'$), то тогда интеграл (сущностно) упростится. Я говорю сущностно, потому что с точки зрения формы он может и усложниться.
Конечно, это не общий метод, но по крайней мере какой-то шаг в сторону решения.

[Combat Zone]

Вы ж не знаете, что останется. Вдруг отщепив производную, вы оставите что-то совершенно неудобоваримое, после чего интегралу совсем каюк.

[artempalkin]

Combat Zone в сообщении #1658842 писал(а):

совсем каюк

Ну если интеграл брался в ЭФ изначально, то совсем каюк ему не будет :)
Но по крайней мере это шаг какой-никакой, а значит в чем-то ответ на мой исходный вопрос, так что спасибо!

[Combat Zone]

artempalkin
Нате вам несложную задачу по мотивам вашей.

Определить, при каких значениях параметра $a$ интеграл $I(a)$ "берущийся" (т.е. выражается через элементарные функции).

$$ I(a) = \int \left(1+\frac a x \right)^3 e^x \, dx $$

[nnosipov]

Ага, здесь нужно извести неберущуюся интегральную эспоненту $\int e^x/x\,dx$. Хорошо бы, если бы у соответствующего уравнения на $a$ были какие-нибудь гаденькие корни. В принципе, этого можно достичь, взяв у бинома степень побольше.

[artempalkin]

Combat Zone
Да, симпатично, спасибо! У меня получается $a=0$ и еще пара некрасивых, но действительных значений.
Причем можно строго доказать, что только при таких значениях $a$ интеграл будет браться в элементарных функциях (если мы предполагаем известным, что $\int\frac{e^x}{x^3}dx$ не берется в элементарных функциях, в чем я уверен, но доказать не смогу). Что очень приятно!

[Combat Zone]

artempalkin в сообщении #1659443 писал(а):

(если мы предполагаем известным, что $\int\frac{e^x}{x^3}dx$ не берется в элементарных функциях, в чем я уверен, но доказать не смогу

Зачем это предполагать? Сведите к известному $\int e^x/x\,dx$. Заодно и докажете.

[artempalkin]

Combat Zone
А, это интересная идея, и даже несложно реализуемая (дважды взять по частям). Получается, оба эти интеграла либо одновременно берутся в ЭФ, либо одновременно не берутся.
Но я больше имел в виду фундаментально - я не знаю, как доказать, что $\int\frac{e^x}xdx$ не берется в ЭФ. В этом плане как будто немного нечестно получается. Но ваш шаг приближает мою логику к честности, т.к. про $\int\frac{e^x}xdx$ свойства общеизвестны

[Combat Zone]

artempalkin в сообщении #1659638 писал(а):

А, это интересная идея, и даже несложно реализуемая (дважды взять по частям). Получается, оба эти интеграла либо одновременно берутся в ЭФ, либо одновременно не берутся.

Честно говоря, я слабо представляю, как без использования этой идеи решать основную задачу и составлять то самое уравнение.

artempalkin в сообщении #1659638 писал(а):

Но я больше имел в виду фундаментально - я не знаю, как доказать, что $\int\frac{e^x}xdx$ не берется в ЭФ.

На этом этапе полагается считать известным данный факт, иначе задача уйдет в дебри. Дебри можно почитать, это теория Лиувилля (и теорема Лиувилля), но не в рамках решения.