Неопределенный интеграл особого вида

[artempalkin]

Допустим, у меня есть интеграл типа: $\int u'e^xdx$, где $u$ - некоторая дифференцируемая функция. Тогда:

$$\int u'e^xdx = ue^x-\int ue^xdx$$

Откуда можно извлечь вот что:

$$\int (u'+u)e^xdx=ue^x + C$$

Получается, что, взяв некоторую $u$, я могу сконструировать достаточно сложный интеграл, который непонятно, как именно брать. Конечно, если функция $u$ имеет особый вид, то все может быть очевидно (скажем, $\int\left(\frac 1{1+x^2}+\arctg x\right)e^xdx$), но если в особенности $u$ - рациональная дробь, то $u'+u$ можно привести к общему знаменателю и дальше совершенно непонятно, как этот интеграл брать, не зная $u$ заведомо.

Подскажите, какие тут могут быть пути? я говорю об "обычных" методах, а не типа универсальных алгоритмах интегрирования, конечно

[пианист]

artempalkin в сообщении #1658796 писал(а):

непонятно, как именно брать

Почему? Первое слагаемое по частям, да и все.

artempalkin в сообщении #1658796 писал(а):

Подскажите, какие тут могут быть пути?

Так а какая цель этих манипуляций? Вы задачу для школьников составляете?

[artempalkin]

пианист в сообщении #1658798 писал(а):

Почему? Первое слагаемое по частям, да и все.

Какое первое слагаемое? если я вас правильно понял, его нету же.
Например, такой интеграл: $\int \frac{1-x}{x^2}e^xdx$
Или вот такой: $\int\frac{x^2+x+1}{(x+1)^2}e^xdx$
Понятно, что можно угадать, чему равно $u$ исходя из конкретного вида выражения. Но есть ли более общий способ

-- 17.10.2024, 12:22 --

пианист в сообщении #1658798 писал(а):

Так а какая цель этих манипуляций? Вы задачу для школьников составляете?

Да нет, просто ради интереса. Вроде интеграл имеет простой вид, и составляется легко, можно сходу кучу таких придумать. А как брать - непонятно. Обычно если можно легко составить интеграл, то и взять его несложно (то есть если бы я придумал интеграл, стер себе память, и попытался его взять, то проблем бы обычно не возникло). А в данном случае что-то как-то не получается...

[wrest]

artempalkin
То есть вопрос в том, как быстро и просто решить уравнение
$y(x)+y'(x)=g(x)$ если $g(x)$ - дробно-рациональная функция.

[artempalkin]

wrest
Ну можно сказать и так. Кстати, если $g(x)$ - ДРФ от тригонометрических функций, то получается та же чехарда.

[Combat Zone]

artempalkin в сообщении #1658799 писал(а):

Например, такой интеграл: $\int \frac{1-x}{x^2}e^xdx$
Или вот такой: $\int\frac{x^2+x+1}{(x+1)^2}e^xdx$

Можно какой-то пример, в котором действительно требовалось бы что-то угадывать или придумывать более общие способы? Пока все спокойно считается и так.

[artempalkin]

Combat Zone в сообщении #1658807 писал(а):

Пока все спокойно считается и так.

А как "так"?
У меня ощущение, что все очевидно, и только я не понимаю, как считать такие интегралы :)

[Combat Zone]

artempalkin
какой посчитать?

[artempalkin]

Combat Zone

artempalkin в сообщении #1658799 писал(а):

$\int \frac{1-x}{x^2}e^xdx$

ну вот этот, если можно

[Combat Zone]

$\int \frac{1-x}{x^2}e^xdx=\int \frac{e^x}{x^2}\,dx - \int \frac{e^x}{x}\, dx = - \frac{e^x}{x}+C$
Первый интеграл в разности считался по частям.
Второй ваш интеграл с дробью решается теми же методами - раскладываем в сумму простейших, смотрим.

[artempalkin]

Combat Zone
Я вас понял. Но это то же самое угадание все же. Разницы между тем, что вы сделали, и просто с ходу угадыванием $u$, как вы понимаете, нет никакой. Угадать $u$ и "разрезать" $u'+u$ на $u'$ и $u$ - это одно и то же.
Я не осуждаю и не обвиняю, просто констатирую :) то есть это не общий способ.

[Combat Zone]

artempalkin
Так всегда можно сказать. Можно сказать и что в общем случае вычисление первообразной это всегда в большой мере угадывание. Хотя я не режу на функцию и производную, я о них не имею понятия, особенно во втором случае.

И потому я и говорю - предложите интеграл, где вы не сможете сказать, что что-то угадывалось. Где решение не будет "не общим способом".

[artempalkin]

Combat Zone

$$\int \frac{1+\sin x}{1+\cos x}e^xdx$$

- вроде этот

[Combat Zone]

Да, этот интереснее. Тригонометрия всегда интереснее. Мне в голову не приходило угадывать вид $u+u'$, но думаю, вы опять меня заподозрите в этом :)

Мои действия - преобразовать дробь перед экспонентой, она красивая. Получится $\frac 12 (\tg \frac x2+1)^2 = \frac{1}{2\cos^2 x/2}+ \tg \frac x2$.

Ой )

[artempalkin]

Combat Zone в сообщении #1658825 писал(а):

Мои действия

Да, мои тоже. Но все же... видите, результат как бы получается "случайно". Нельзя назвать этот метод последовательным... В общем, вердикт в том, что, видимо, последовательного метода тут нет...

-- 17.10.2024, 16:14 --

Combat Zone в сообщении #1658825 писал(а):

Мне в голову не приходило угадывать вид $u+u'$, но думаю, вы опять меня заподозрите в этом :)

Э, да, после нашего пространного диалога на эту тему, и учитывая, что этот пример согласно уговору как раз на эту тему, вы совершенно случайно стали приводить к виду $u'+u$ :)