Равенство производных по направлению

[Gg322]

Пусть $U$ - открытое множество в нормированном пространстве $X$, а $f:U\to Y$ - отображение $U$ в нормированное пространство $Y$. Производной отображения $f$ по вектору $h$ назовем предел(если он существует):

$$D_{h}f(x)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x+t\cdot h)-f(x)}{t}, t \in \mathbb{R}.$$

Задача: покажите, что если для пары векторов $h_1,h_2$ и отображения $f$ в области $U$ определены функции $D_{h_1}D_{h_2}f(x)$, $D_{h_2}D_{h_1}f(x)$ и они непрерывны в некоторой точке $x \in U$, то в этой точке имеет место равенство $D_{h_1}D_{h_2}f(x) = D_{h_2}D_{h_1}f(x).$
Рассмотрел функцию $F_{s,t}(x) = f(x+t\cdot h_1+s\cdot h_2) - f(x+s\cdot h_2)- f(x+t\cdot h_1)+f(x)$. Для нее вроде как выполняется $\lim\limits_{s\to 0}\lim\limits_{t\to 0} \frac{F_{s,t}(x) }{st}=D_{h_2}D_{h_1}f(x), \lim\limits_{t\to 0}\lim\limits_{s\to 0} \frac{F_{s,t}(x) }{st}=D_{h_1}D_{h_2}f(x), $но дальше не знаю как.

[dgwuqtj]

Такие вещи может быть удобнее доказывать через интегралы. Если расписать $F_{s, t}(x)$ как двойной интеграл от $D_{h_1} D_{h_2} f(x + u h_1 + v h_2)$, то из непрерывности повторной производной должна следовать непрерывность $F_{s, t}(x)$ по $s, t$ в совокупности.

[Gg322]

dgwuqtj в сообщении #1659555 писал(а):

Такие вещи может быть удобнее доказывать через интегралы. Если расписать $F_{s, t}(x)$ как двойной интеграл от $D_{h_1} D_{h_2} f(x + u h_1 + v h_2)$, то из непрерывности повторной производной должна следовать непрерывность $F_{s, t}(x)$ по $s, t$ в совокупности.

Не понятно как двойной интеграл вводить. Просто я умею интегралы строить только для $\mathbb{R}^n$

[drzewo]

dgwuqtj в сообщении #1659555 писал(а):

Такие вещи может быть удобнее доказывать через интегралы. Если расписать $F_{s, t}(x)$ как двойной интеграл от $D_{h_1} D_{h_2} f(x + u h_1 + v h_2)$, то

там ведь только про непрерывность в точке сказано, а почему эти функции должны быть интегрируемы хоть в каком-нибудь смысле -- непонятно

-- 26.10.2024, 00:18 --

Посмотрел Лорана Шварца <<Анализ>> том 1. Там это утверждение сформулировано, но не доказано, а вот если посмотреть на предыдущую теорему, что бы понять вообще в каком русле рассуждать надо, то может что и получится.

[Gg322]

drzewo в сообщении #1659558 писал(а):

dgwuqtj в сообщении #1659555 писал(а):

Такие вещи может быть удобнее доказывать через интегралы. Если расписать $F_{s, t}(x)$ как двойной интеграл от $D_{h_1} D_{h_2} f(x + u h_1 + v h_2)$, то

там ведь только про непрерывность в точке сказано, а почему эти функции должны быть интегрируемы хоть в каком-нибудь смысле -- непонятно

-- 26.10.2024, 00:18 --

Посмотрел Лорана Шварца <<Анализ>> том 1. Там это утверждение сформулировано, но не доказано, а вот если посмотреть на предыдущую теорему, что бы понять вообще в каком русле рассуждать надо, то может что и получится.

У Шварца вроде используется факт того, что отображение имеет производную, из-за чего он может применять теорему о конечном приращении. А тут, вроде как, может быть такое, что $f$ вообще не дифференцируема.

[drzewo]

Поскольку $D_{h_1}D_{h_2}f(x)$ непрерывно в $x$ то значит эта функция определена в окрестности $x$, значит $D_{h_2}f$ определена в окрестности $x$

[Gg322]

drzewo в сообщении #1659567 писал(а):

Поскольку $D_{h_1}D_{h_2}f(x)$ непрерывно в $x$ то значит эта функция определена в окрестности $x$, значит $D_{h_2}f$ определена в окрестности $x$

Вы хотите сказать, что если первая производная определена, то функция дифференцируемая?

[drzewo]

Gg322 в сообщении #1659568 писал(а):

drzewo в сообщении #1659567 писал(а):

Поскольку $D_{h_1}D_{h_2}f(x)$ непрерывно в $x$ то значит эта функция определена в окрестности $x$, значит $D_{h_2}f$ определена в окрестности $x$

Вы хотите сказать, что если первая производная определена, то функция дифференцируемая?

то, что я хотел сказать, я сказал

[Gg322]

Ну это-то и так понятно было.

[drzewo]

По-моему эта задача сводится к скалярному случаю (который разобран в первом томе Мат.анализа Никольского) путем простого трюка:
рассмотрим скалярнозначную функцию двух скалярных переменных

$$g(s_1,s_2)=(\psi,f(x+s_1h_1+s_2h_2)),$$

где $\psi$ -- произвольный непрерывный линейный функционал.