2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Равенство производных по направлению
Сообщение25.10.2024, 22:20 


29/10/21
74
Пусть $U$ - открытое множество в нормированном пространстве $X$, а $f:U\to Y$ - отображение $U$ в нормированное пространство $Y$. Производной отображения $f$ по вектору $h$ назовем предел(если он существует):$$D_{h}f(x)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x+t\cdot h)-f(x)}{t}, t \in \mathbb{R}.$$
Задача: покажите, что если для пары векторов $h_1,h_2$ и отображения $f$ в области $U$ определены функции $D_{h_1}D_{h_2}f(x)$, $D_{h_2}D_{h_1}f(x)$ и они непрерывны в некоторой точке $x \in U$, то в этой точке имеет место равенство $D_{h_1}D_{h_2}f(x) = D_{h_2}D_{h_1}f(x).$
Рассмотрел функцию $F_{s,t}(x) = f(x+t\cdot h_1+s\cdot h_2) -  f(x+s\cdot h_2)- f(x+t\cdot h_1)+f(x)$. Для нее вроде как выполняется $\lim\limits_{s\to 0}\lim\limits_{t\to 0} \frac{F_{s,t}(x) }{st}=D_{h_2}D_{h_1}f(x), \lim\limits_{t\to 0}\lim\limits_{s\to 0} \frac{F_{s,t}(x) }{st}=D_{h_1}D_{h_2}f(x), $но дальше не знаю как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство производных по направлению
Сообщение25.10.2024, 22:57 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Такие вещи может быть удобнее доказывать через интегралы. Если расписать $F_{s, t}(x)$ как двойной интеграл от $D_{h_1} D_{h_2} f(x + u h_1 + v h_2)$, то из непрерывности повторной производной должна следовать непрерывность $F_{s, t}(x)$ по $s, t$ в совокупности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство производных по направлению
Сообщение25.10.2024, 23:10 


29/10/21
74
dgwuqtj в сообщении #1659555 писал(а):
Такие вещи может быть удобнее доказывать через интегралы. Если расписать $F_{s, t}(x)$ как двойной интеграл от $D_{h_1} D_{h_2} f(x + u h_1 + v h_2)$, то из непрерывности повторной производной должна следовать непрерывность $F_{s, t}(x)$ по $s, t$ в совокупности.

Не понятно как двойной интеграл вводить. Просто я умею интегралы строить только для $\mathbb{R}^n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство производных по направлению
Сообщение25.10.2024, 23:16 


21/12/16
721
dgwuqtj в сообщении #1659555 писал(а):
Такие вещи может быть удобнее доказывать через интегралы. Если расписать $F_{s, t}(x)$ как двойной интеграл от $D_{h_1} D_{h_2} f(x + u h_1 + v h_2)$, то

там ведь только про непрерывность в точке сказано, а почему эти функции должны быть интегрируемы хоть в каком-нибудь смысле -- непонятно

-- 26.10.2024, 00:18 --

Посмотрел Лорана Шварца <<Анализ>> том 1. Там это утверждение сформулировано, но не доказано, а вот если посмотреть на предыдущую теорему, что бы понять вообще в каком русле рассуждать надо, то может что и получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство производных по направлению
Сообщение25.10.2024, 23:28 


29/10/21
74
drzewo в сообщении #1659558 писал(а):
dgwuqtj в сообщении #1659555 писал(а):
Такие вещи может быть удобнее доказывать через интегралы. Если расписать $F_{s, t}(x)$ как двойной интеграл от $D_{h_1} D_{h_2} f(x + u h_1 + v h_2)$, то

там ведь только про непрерывность в точке сказано, а почему эти функции должны быть интегрируемы хоть в каком-нибудь смысле -- непонятно

-- 26.10.2024, 00:18 --

Посмотрел Лорана Шварца <<Анализ>> том 1. Там это утверждение сформулировано, но не доказано, а вот если посмотреть на предыдущую теорему, что бы понять вообще в каком русле рассуждать надо, то может что и получится.

У Шварца вроде используется факт того, что отображение имеет производную, из-за чего он может применять теорему о конечном приращении. А тут, вроде как, может быть такое, что $f$ вообще не дифференцируема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство производных по направлению
Сообщение26.10.2024, 00:10 


21/12/16
721
Поскольку $D_{h_1}D_{h_2}f(x)$ непрерывно в $x$ то значит эта функция определена в окрестности $x$, значит $D_{h_2}f$ определена в окрестности $x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство производных по направлению
Сообщение26.10.2024, 00:17 


29/10/21
74
drzewo в сообщении #1659567 писал(а):
Поскольку $D_{h_1}D_{h_2}f(x)$ непрерывно в $x$ то значит эта функция определена в окрестности $x$, значит $D_{h_2}f$ определена в окрестности $x$

Вы хотите сказать, что если первая производная определена, то функция дифференцируемая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство производных по направлению
Сообщение26.10.2024, 00:19 


21/12/16
721
Gg322 в сообщении #1659568 писал(а):
drzewo в сообщении #1659567 писал(а):
Поскольку $D_{h_1}D_{h_2}f(x)$ непрерывно в $x$ то значит эта функция определена в окрестности $x$, значит $D_{h_2}f$ определена в окрестности $x$

Вы хотите сказать, что если первая производная определена, то функция дифференцируемая?

то, что я хотел сказать, я сказал

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство производных по направлению
Сообщение26.10.2024, 00:19 


29/10/21
74
Ну это-то и так понятно было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство производных по направлению
Сообщение26.10.2024, 01:18 


21/12/16
721
По-моему эта задача сводится к скалярному случаю (который разобран в первом томе Мат.анализа Никольского) путем простого трюка:
рассмотрим скалярнозначную функцию двух скалярных переменных
$$g(s_1,s_2)=(\psi,f(x+s_1h_1+s_2h_2)),$$
где $\psi$ -- произвольный непрерывный линейный функционал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group