Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?

[Arastas]

Добрый день

Читаю статью на вики про неравенство Ландау-Колмогорова:

$$\|f^{(k)}\|_{L_\infty(T)} \le C(n,k,T)\left(\|f\|_{L_\infty(T)}\right)^{1-\frac{k}{n}}\left(\|f^{(n)}\|_{L_\infty(T)}\right)^{\frac{k}{n}}.$$

Если я выберу $k=1$, $n=2$ и интервал $T$ как $[-1,1]$, то получится

$$\|f'\|_\infty^2 \le K \|f\|_\infty\|f''\|_\infty$$

для какой-то константы $K>0$. Но если я возьму $f=x$, то $\|f''\|_\infty = 0$ и неравенство нарушается.
Я явно что-то не так понимаю про условия применимости, но что?

[Red_Herring]

Конкретно для $n=2$ забыто условие, что функция должна обращаться в 0 на концах.

[Arastas]

Red_Herring в сообщении #1659225 писал(а):

Конкретно для $n=2$ забыто условие, что функция должна обращаться в 0 на концах.

Ого! Это очень важное условие, о котором на вики ни слова. :(
А для других $n$ какие есть условия?

PS: А как "обращаться в 0 на концах" выглядит для $T=\mathbb{R}$? Предел?

[Red_Herring]

Arastas в сообщении #1659229 писал(а):

А для других $n$ какие есть условия?

А подумайте: нужны условия, чтобы на отрезке $f^{(n)}=0$ влекло $f=0$.

[Arastas]

Red_Herring в сообщении #1659230 писал(а):

А подумайте: нужны условия, чтобы на отрезке $f^{(n)}=0$ влекло $f=0$.

Хорошо, я могу добавить это условие как необходимое. Но будет ли оно достаточным для применимости неравенства?
Или там ещё какие-то нюансы есть? Я к сожалению, не смог найти каких-то лекций/учебных пособий с обсуждением этого неравенства, только статьи в его развитие. Из которых, к сожалению, вытащить ответы на свой вопрос "для какого класса функций выполняется неравенство" у меня не получилось.

[Red_Herring]

Нюанс такой: если вы хотите, чтобы константы не зависели от длины интервала, ваши условия должны выдерживать растяжение. Наиболее простые условия:
1. Если $n$ четно, то функция и ее производные до порядка $n/2$ должны быть 0 на концах.
2. Если $n$ нечетно, то функция и ее производные до порядка должны $(n-1)/2$ быть 0 на концах, и интеграл от функции по отрезку д.б. 0.
Дальше придумывайте сами.

[drzewo]

Выглядит как какое-то интерполяционное неравенство. Думаю, Колмогоров тут нипричем. А подозревать Ландау в знании того, что такое $L^p$ -- просто неприлично

-- 22.10.2024, 15:28 --

https://en.wikipedia.org/wiki/Gagliardo%E2%80%93Nirenberg_interpolation_inequality

[Red_Herring]

drzewo в сообщении #1659241 писал(а):

Выглядит как какое-то интерполяционное неравенство.

Ну да, интерполяция норм. Но проблема в данном примере в том, что $\|f^{(n)}\|_*$ это всего лишь полунорма и дополнительные условия нужны, чтобы сделать из нее норму.

[Arastas]

drzewo в сообщении #1659241 писал(а):

https://en.wikipedia.org/wiki/Gagliardo%E2%80%93Nirenberg_interpolation_inequality

Спасибо, то, что надо!

[Mopnex]

drzewo в сообщении #1659241 писал(а):

А подозревать Ландау в знании того, что такое $L^p$ -- просто неприлично

Особенно если Ландау звали Эдмунд

[drzewo]

Mopnex в сообщении #1659252 писал(а):

Особенно если Ландау звали Эдмунд

Да, действительно, а я думал, что это часть одной истории которой занимались Лев Ландау и Колмогоров