2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 11:36 


12/11/13
89
Добрый день

Читаю статью на вики про неравенство Ландау-Колмогорова:
$$\|f^{(k)}\|_{L_\infty(T)} \le C(n,k,T)\left(\|f\|_{L_\infty(T)}\right)^{1-\frac{k}{n}}\left(\|f^{(n)}\|_{L_\infty(T)}\right)^{\frac{k}{n}}.$$ Если я выберу $k=1$, $n=2$ и интервал $T$ как $[-1,1]$, то получится $$\|f'\|_\infty^2 \le K \|f\|_\infty\|f''\|_\infty$$ для какой-то константы $K>0$. Но если я возьму $f=x$, то $\|f''\|_\infty = 0$ и неравенство нарушается.
Я явно что-то не так понимаю про условия применимости, но что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Конкретно для $n=2$ забыто условие, что функция должна обращаться в 0 на концах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 12:08 


12/11/13
89
Red_Herring в сообщении #1659225 писал(а):
Конкретно для $n=2$ забыто условие, что функция должна обращаться в 0 на концах.

Ого! Это очень важное условие, о котором на вики ни слова. :(
А для других $n$ какие есть условия?

PS: А как "обращаться в 0 на концах" выглядит для $T=\mathbb{R}$? Предел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 12:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Arastas в сообщении #1659229 писал(а):
А для других $n$ какие есть условия?
А подумайте: нужны условия, чтобы на отрезке $f^{(n)}=0$ влекло $f=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 12:58 


12/11/13
89
Red_Herring в сообщении #1659230 писал(а):
А подумайте: нужны условия, чтобы на отрезке $f^{(n)}=0$ влекло $f=0$.


Хорошо, я могу добавить это условие как необходимое. Но будет ли оно достаточным для применимости неравенства?
Или там ещё какие-то нюансы есть? Я к сожалению, не смог найти каких-то лекций/учебных пособий с обсуждением этого неравенства, только статьи в его развитие. Из которых, к сожалению, вытащить ответы на свой вопрос "для какого класса функций выполняется неравенство" у меня не получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Нюанс такой: если вы хотите, чтобы константы не зависели от длины интервала, ваши условия должны выдерживать растяжение. Наиболее простые условия:
1. Если $n$ четно, то функция и ее производные до порядка $n/2$ должны быть 0 на концах.
2. Если $n$ нечетно, то функция и ее производные до порядка должны $(n-1)/2$ быть 0 на концах, и интеграл от функции по отрезку д.б. 0.
Дальше придумывайте сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 14:24 


21/12/16
721
Выглядит как какое-то интерполяционное неравенство. Думаю, Колмогоров тут нипричем. А подозревать Ландау в знании того, что такое $L^p$ -- просто неприлично

-- 22.10.2024, 15:28 --

https://en.wikipedia.org/wiki/Gagliardo%E2%80%93Nirenberg_interpolation_inequality

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
drzewo в сообщении #1659241 писал(а):
Выглядит как какое-то интерполяционное неравенство.
Ну да, интерполяция норм. Но проблема в данном примере в том, что $\|f^{(n)}\|_*$ это всего лишь полунорма и дополнительные условия нужны, чтобы сделать из нее норму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 16:35 


12/11/13
89
drzewo в сообщении #1659241 писал(а):


Спасибо, то, что надо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 17:00 
Аватара пользователя


22/03/06
993
drzewo в сообщении #1659241 писал(а):
А подозревать Ландау в знании того, что такое $L^p$ -- просто неприлично


Особенно если Ландау звали Эдмунд

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 17:06 


21/12/16
721
Mopnex в сообщении #1659252 писал(а):
Особенно если Ландау звали Эдмунд

Да, действительно, а я думал, что это часть одной истории которой занимались Лев Ландау и Колмогоров

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group