2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 11:36 


12/11/13
89
Добрый день

Читаю статью на вики про неравенство Ландау-Колмогорова:
$$\|f^{(k)}\|_{L_\infty(T)} \le C(n,k,T)\left(\|f\|_{L_\infty(T)}\right)^{1-\frac{k}{n}}\left(\|f^{(n)}\|_{L_\infty(T)}\right)^{\frac{k}{n}}.$$ Если я выберу $k=1$, $n=2$ и интервал $T$ как $[-1,1]$, то получится $$\|f'\|_\infty^2 \le K \|f\|_\infty\|f''\|_\infty$$ для какой-то константы $K>0$. Но если я возьму $f=x$, то $\|f''\|_\infty = 0$ и неравенство нарушается.
Я явно что-то не так понимаю про условия применимости, но что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Конкретно для $n=2$ забыто условие, что функция должна обращаться в 0 на концах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 12:08 


12/11/13
89
Red_Herring в сообщении #1659225 писал(а):
Конкретно для $n=2$ забыто условие, что функция должна обращаться в 0 на концах.

Ого! Это очень важное условие, о котором на вики ни слова. :(
А для других $n$ какие есть условия?

PS: А как "обращаться в 0 на концах" выглядит для $T=\mathbb{R}$? Предел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 12:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Arastas в сообщении #1659229 писал(а):
А для других $n$ какие есть условия?
А подумайте: нужны условия, чтобы на отрезке $f^{(n)}=0$ влекло $f=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 12:58 


12/11/13
89
Red_Herring в сообщении #1659230 писал(а):
А подумайте: нужны условия, чтобы на отрезке $f^{(n)}=0$ влекло $f=0$.


Хорошо, я могу добавить это условие как необходимое. Но будет ли оно достаточным для применимости неравенства?
Или там ещё какие-то нюансы есть? Я к сожалению, не смог найти каких-то лекций/учебных пособий с обсуждением этого неравенства, только статьи в его развитие. Из которых, к сожалению, вытащить ответы на свой вопрос "для какого класса функций выполняется неравенство" у меня не получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Нюанс такой: если вы хотите, чтобы константы не зависели от длины интервала, ваши условия должны выдерживать растяжение. Наиболее простые условия:
1. Если $n$ четно, то функция и ее производные до порядка $n/2$ должны быть 0 на концах.
2. Если $n$ нечетно, то функция и ее производные до порядка должны $(n-1)/2$ быть 0 на концах, и интеграл от функции по отрезку д.б. 0.
Дальше придумывайте сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 14:24 


21/12/16
721
Выглядит как какое-то интерполяционное неравенство. Думаю, Колмогоров тут нипричем. А подозревать Ландау в знании того, что такое $L^p$ -- просто неприлично

-- 22.10.2024, 15:28 --

https://en.wikipedia.org/wiki/Gagliardo%E2%80%93Nirenberg_interpolation_inequality

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
drzewo в сообщении #1659241 писал(а):
Выглядит как какое-то интерполяционное неравенство.
Ну да, интерполяция норм. Но проблема в данном примере в том, что $\|f^{(n)}\|_*$ это всего лишь полунорма и дополнительные условия нужны, чтобы сделать из нее норму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 16:35 


12/11/13
89
drzewo в сообщении #1659241 писал(а):


Спасибо, то, что надо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 17:00 
Аватара пользователя


22/03/06
993
drzewo в сообщении #1659241 писал(а):
А подозревать Ландау в знании того, что такое $L^p$ -- просто неприлично


Особенно если Ландау звали Эдмунд

 Профиль  
                  
 
 Re: Что не так с этим примером неравенства Ландау-Колмогорова?
Сообщение22.10.2024, 17:06 


21/12/16
721
Mopnex в сообщении #1659252 писал(а):
Особенно если Ландау звали Эдмунд

Да, действительно, а я думал, что это часть одной истории которой занимались Лев Ландау и Колмогоров

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group