2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Для любого замкнутого множества B найдется гладкая ф.: F=0
Сообщение21.10.2024, 14:19 


14/11/21
66
Отрывок из конспекта лекции:

Задание поверхности уравнением. Будем говорить, что поверхность задана уравнением $F(x, y, z)=0$, если функция $F$ гладкая, а градиент отличен от 0 во всех точках поверхности, т. е. во всех точках, где $F(x, y, z)=0$. Без условия на градиент уравнение $F(x, y, z)=0$ даже для гладкой функции $F$ может задавать множества весьма далекие от наших интуитивных представлений о хорошей поверхности. В самом деле, можно показать, что для любого замкнутого множества $B \subset \mathbb{R}^n$ найдется $C^{\infty}$-гладкая функция $F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, такая что $B$ задается уравнением $F=0$, т. e. $B=\{(x, y, z) \mid F(x, y, z)=0\}$.

Задача 36.
Докажите это утверждение.


Пример. Сфера $x^2+y^2+z^2=R^2$ задаётся в виде $F(x, y, z)=0$ для $F(x, y, z)=x^2+y^2+z^2-R^2$. Градиент этой функции равен 0 только в точке $(0,0,0)$, которая не удовлетворяет уравнению $F=0$.

моя попытка

Есть мысль использовать теорему о том, что замкнутое множество из ${R}^n$ можно вложить всегда в замкнутое ограниченное (т.е. компакт)

Я знаю теорему Больцано - Вейерштрасса (критерий компактности в ${R}^n$), но я не помню есть ли название у предыдущего утверждения. И скажите, пожалуйста, где его можно посмотреть.

Потом я думаю, что нужно расписать задание этой функции и в качестве "зануляющего значения" выбрать из теоремы о достижении максимального и минимального значения непрерывной функцией на компакте, как раз эти значения.

Верно мыслю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Для любого замкнутого множества B найдется гладкая ф.: F=0
Сообщение21.10.2024, 15:17 
Заслуженный участник


20/12/10
9117
DariaRychenkova в сообщении #1659147 писал(а):
можно показать, что для любого замкнутого множества $B \subset \mathbb{R}^n$ найдется $C^{\infty}$-гладкая функция $F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, такая что $B$ задается уравнением $F=0$, т. e. $B=\{(x, y, z) \mid F(x, y, z)=0\}$.
Если правильно помню, это называется теоремой Уитни. Опять же кажется, что для доказательства используется разбиение единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Для любого замкнутого множества B найдется гладкая ф.: F=0
Сообщение21.10.2024, 15:31 


14/11/21
66
nnosipov, спасибо

**Изначально неверно прочитала
Очень помогли!

-- 21.10.2024, 15:33 --

nnosipov

В каком учебнике рекомендуете посмотреть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Для любого замкнутого множества B найдется гладкая ф.: F=0
Сообщение21.10.2024, 16:23 
Заслуженный участник


20/12/10
9117
DariaRychenkova в сообщении #1659156 писал(а):
В каком учебнике рекомендуете посмотреть?
Этого не подскажу, тем более что мог ошибиться со своими ассоциациями.

Хотя нет, не наврал: действительно, это теорема Уитни, есть у М.М. Постникова, Гладкие многообразия, семестр III (лекция 1).

 Профиль  
                  
 
 Re: Для любого замкнутого множества B найдется гладкая ф.: F=0
Сообщение22.10.2024, 16:30 


14/11/21
66
nnosipov
Спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group