Отрывок из конспекта лекции:
Задание поверхности уравнением. Будем говорить, что поверхность задана уравнением
, если функция
гладкая, а градиент отличен от 0 во всех точках поверхности, т. е. во всех точках, где
. Без условия на градиент уравнение
даже для гладкой функции
может задавать множества весьма далекие от наших интуитивных представлений о хорошей поверхности. В самом деле, можно показать, что для любого замкнутого множества
найдется
-гладкая функция
, такая что
задается уравнением
, т. e.
.
Задача 36. Докажите это утверждение.
Пример. Сфера
задаётся в виде
для
. Градиент этой функции равен 0 только в точке
, которая не удовлетворяет уравнению
.
моя попыткаЕсть мысль использовать теорему о том, что замкнутое множество из
можно вложить всегда в замкнутое ограниченное (т.е. компакт)
Я знаю теорему Больцано - Вейерштрасса (критерий компактности в
), но я не помню есть ли название у предыдущего утверждения. И скажите, пожалуйста, где его можно посмотреть.
Потом я думаю, что нужно расписать задание этой функции и в качестве "зануляющего значения" выбрать из теоремы о достижении максимального и минимального значения непрерывной функцией на компакте, как раз эти значения.
Верно мыслю?