Для любого замкнутого множества B найдется гладкая ф.: F=0

[DariaRychenkova]

Отрывок из конспекта лекции:

Задание поверхности уравнением. Будем говорить, что поверхность задана уравнением $F(x, y, z)=0$, если функция $F$ гладкая, а градиент отличен от 0 во всех точках поверхности, т. е. во всех точках, где $F(x, y, z)=0$. Без условия на градиент уравнение $F(x, y, z)=0$ даже для гладкой функции $F$ может задавать множества весьма далекие от наших интуитивных представлений о хорошей поверхности. В самом деле, можно показать, что для любого замкнутого множества $B \subset \mathbb{R}^n$ найдется $C^{\infty}$-гладкая функция $F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, такая что $B$ задается уравнением $F=0$, т. e. $B=\{(x, y, z) \mid F(x, y, z)=0\}$.

Задача 36.
Докажите это утверждение.


Пример. Сфера $x^2+y^2+z^2=R^2$ задаётся в виде $F(x, y, z)=0$ для $F(x, y, z)=x^2+y^2+z^2-R^2$. Градиент этой функции равен 0 только в точке $(0,0,0)$, которая не удовлетворяет уравнению $F=0$.

моя попытка

Есть мысль использовать теорему о том, что замкнутое множество из ${R}^n$ можно вложить всегда в замкнутое ограниченное (т.е. компакт)

Я знаю теорему Больцано - Вейерштрасса (критерий компактности в ${R}^n$), но я не помню есть ли название у предыдущего утверждения. И скажите, пожалуйста, где его можно посмотреть.

Потом я думаю, что нужно расписать задание этой функции и в качестве "зануляющего значения" выбрать из теоремы о достижении максимального и минимального значения непрерывной функцией на компакте, как раз эти значения.

Верно мыслю?

[nnosipov]

DariaRychenkova в сообщении #1659147 писал(а):

можно показать, что для любого замкнутого множества $B \subset \mathbb{R}^n$ найдется $C^{\infty}$-гладкая функция $F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, такая что $B$ задается уравнением $F=0$, т. e. $B=\{(x, y, z) \mid F(x, y, z)=0\}$.

Если правильно помню, это называется теоремой Уитни. Опять же кажется, что для доказательства используется разбиение единицы.

[DariaRychenkova]

nnosipov, спасибо

**Изначально неверно прочитала
Очень помогли!

-- 21.10.2024, 15:33 --

nnosipov

В каком учебнике рекомендуете посмотреть?

[nnosipov]

DariaRychenkova в сообщении #1659156 писал(а):

В каком учебнике рекомендуете посмотреть?

Этого не подскажу, тем более что мог ошибиться со своими ассоциациями.

Хотя нет, не наврал: действительно, это теорема Уитни, есть у М.М. Постникова, Гладкие многообразия, семестр III (лекция 1).

[DariaRychenkova]

nnosipov
Спасибо