2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Подпространство в C([a, b])
Сообщение02.10.2024, 20:13 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Столкнулся с задачей: доказать, что замкнутое подпространство в $C([a, b])$ (с супремум-нормой), состоящее из непрерывно дифференцируемых функций, конечномерно.

Попытки решения: у нас есть непрерывное вложение $C^1([a, b]) \to C([a, b]) $, образ которого всюду плотен в $C([a, b])$. Попробовал обобщить: если $X_0$ -- всюду плотное подпространство в банаховом пространстве $X$, то замкнутое подпространство $L\subset X$, целиком лежащее в $X_0$, конечномерно. Как доказать - не знаю, и контрпример не придумал. Думал про $l_1$ в $l_2$. Верно ли, что замкнутое подпространство $l_2$, целиком лежащее в $l_1$, конечномерно?
Возможно, надо как-то использовать факт, что замкнутый шар компактен только в конечномерном пространстве.

Прошу подсказку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подпространство в C([a, b])
Сообщение02.10.2024, 20:38 


21/12/16
721
Padawan в сообщении #1657122 писал(а):
замкнутое подпространство в $C([a, b])$ (с супремум-нормой), состоящее из непрерывно дифференцируемых функций

назовем его $X$. $X$ замкнуто в $C^1[a,b]$.
Далее
$u\in X\Longrightarrow \|u\|_C\le\|u\|_{C^1}$ и $X$ -- банахово относительно обеих норм. Следовательно эти нормы на $X$ эквивалентны

 Профиль  
                  
 
 Re: Подпространство в C([a, b])
Сообщение02.10.2024, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
Padawan в сообщении #1657122 писал(а):
Попробовал обобщить: если $X_0$ -- всюду плотное подпространство в банаховом пространстве $X$, то замкнутое подпространство $L\subset X$, целиком лежащее в $X_0$, конечномерно. Как доказать - не знаю, и контрпример не придумал.
Утверждение неверно. Пусть $X$ гильбертово с ортонормированным базисом $\{e_n\}$. Пусть $X_0$ состоит из элементов пространства $X$, разложения которых в ряд Фурье по этому базису содержат лишь конечное количество ненулевых коэффициентов с нечётными номерами (коэффициенты с чётными номерами могут быть какими угодно). Пусть $L$ состоит из элементов пространства $X$, в разложении которых в ряд Фурье по этому базису все коэффициенты с нечётными номерами нулевые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подпространство в C([a, b])
Сообщение02.10.2024, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9089
Цюрих
У нас это была задача со звездочкой на третьем курсе. Хорошего решения я не знаю.
Плохое - заметить, что у нас есть последовательность функций единичной нормы, такая что $n$-я функция равна нулю во всех точках $\frac{k}{2^n}$. Считаем, что последовательность точек, на которых достигается норма, сходится к какой-то точке $p$, и строим последовательность $r_n$, быстро сходящуюся к $p$, такую что $f_n(r_n) - f_n(p)$ велико. И дальше написав $f = \sum \theta_n f_n$ с подходящими коэффициентами (не слишком быстро и не слишком медленно убывающими) получить что $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(r_n) - f(p)}{r_n - p}$ не существует - выбором знаков можно добиться, чтобы первые $n$ слагаемых были положительны, выбором соотношения $\theta_n$ и $r_n - p$ можно добиться, чтобы слагемые после $n$-го не очень влияли.
(если надо, у меня есть полное решение, даже в $\TeX$, оно не особо интересное)
drzewo в сообщении #1657125 писал(а):
Следовательно эти нормы на $X$ эквивалентны
А что в этом плохого?
Padawan в сообщении #1657122 писал(а):
Верно ли, что замкнутое подпространство $l_2$, целиком лежащее в $l_1$, конечномерно?
В $l_1$ слабая и сильная сходимость эквивалентны, а любое замкнутое подпространство $l_2$ либо конечномерно, либо гильбертово.
Padawan в сообщении #1657122 писал(а):
Попробовал обобщить: если $X_0$ -- всюду плотное подпространство в банаховом пространстве $X$, то замкнутое подпространство $L\subset X$, целиком лежащее в $X_0$, конечномерно
Пусть $A$ - Ваше любимое банахово пространство, $B$ - его всюду плотное незамкнутое подпространство. Возьмем $X = A \times A$, $X_0 = A \times B$, $L = A \times \{0\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подпространство в C([a, b])
Сообщение03.10.2024, 05:30 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
mihaild в сообщении #1657141 писал(а):
drzewo в сообщении #1657125

писал(а):
Следовательно эти нормы на $X$ эквивалентны А что в этом плохого?

Возьмем в $X$ единичный шар. Если использовать норму $C^1$, то получим, что этот шар - равномерно ограниченное равностепенно непрерывное семейство. Значит, по теореме Арцела-Асколи этот шар предкомпактен по норме $C$. Значит, $X$ конечномерно. Все верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подпространство в C([a, b])
Сообщение03.10.2024, 11:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9089
Цюрих
Т.е. у нас получается, что, с одной стороны, нормы эквивалентны (т.к. сравнимы), а с другой - единичный шар по одной предкомпактен по другой. Да, красиво.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подпространство в C([a, b])
Сообщение21.10.2024, 06:28 


31/01/23
27
drzewo в сообщении #1657125 писал(а):
Далее
$u\in X\Longrightarrow \|u\|_C\le\|u\|_{C^1}$ и $X$ -- банахово относительно обеих норм. Следовательно эти нормы на $X$ эквивалентны

А почему эти нормы эквивалентны? Неравенство $\|u\|_C\le\|u\|_{C^1}$ очевидно, а как получить обратное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подпространство в C([a, b])
Сообщение21.10.2024, 07:34 


21/12/16
721
Теорему Банаха об обратном операторе к тождественному отображению применить

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group