У нас это была задача со звездочкой на третьем курсе. Хорошего решения я не знаю.
Плохое - заметить, что у нас есть последовательность функций единичной нормы, такая что
-я функция равна нулю во всех точках
. Считаем, что последовательность точек, на которых достигается норма, сходится к какой-то точке
, и строим последовательность
, быстро сходящуюся к
, такую что
велико. И дальше написав
с подходящими коэффициентами (не слишком быстро и не слишком медленно убывающими) получить что
не существует - выбором знаков можно добиться, чтобы первые
слагаемых были положительны, выбором соотношения
и
можно добиться, чтобы слагемые после
-го не очень влияли.
(если надо, у меня есть полное решение, даже в
, оно не особо интересное)
Следовательно эти нормы на
эквивалентны
А что в этом плохого?
Верно ли, что замкнутое подпространство
, целиком лежащее в
, конечномерно?
В
слабая и сильная сходимость эквивалентны, а любое замкнутое подпространство
либо конечномерно, либо гильбертово.
Попробовал обобщить: если
-- всюду плотное подпространство в банаховом пространстве
, то замкнутое подпространство
, целиком лежащее в
, конечномерно
Пусть
- Ваше любимое банахово пространство,
- его всюду плотное незамкнутое подпространство. Возьмем
,
,
.