Подпространство в C([a, b])

[Padawan]

Столкнулся с задачей: доказать, что замкнутое подпространство в $C([a, b])$ (с супремум-нормой), состоящее из непрерывно дифференцируемых функций, конечномерно.

Попытки решения: у нас есть непрерывное вложение $C^1([a, b]) \to C([a, b]) $, образ которого всюду плотен в $C([a, b])$. Попробовал обобщить: если $X_0$ -- всюду плотное подпространство в банаховом пространстве $X$, то замкнутое подпространство $L\subset X$, целиком лежащее в $X_0$, конечномерно. Как доказать - не знаю, и контрпример не придумал. Думал про $l_1$ в $l_2$. Верно ли, что замкнутое подпространство $l_2$, целиком лежащее в $l_1$, конечномерно?
Возможно, надо как-то использовать факт, что замкнутый шар компактен только в конечномерном пространстве.

Прошу подсказку.

[drzewo]

Padawan в сообщении #1657122 писал(а):

замкнутое подпространство в $C([a, b])$ (с супремум-нормой), состоящее из непрерывно дифференцируемых функций

назовем его $X$. $X$ замкнуто в $C^1[a,b]$.
Далее
$u\in X\Longrightarrow \|u\|_C\le\|u\|_{C^1}$ и $X$ -- банахово относительно обеих норм. Следовательно эти нормы на $X$ эквивалентны

[Mikhail_K]

Padawan в сообщении #1657122 писал(а):

Попробовал обобщить: если $X_0$ -- всюду плотное подпространство в банаховом пространстве $X$, то замкнутое подпространство $L\subset X$, целиком лежащее в $X_0$, конечномерно. Как доказать - не знаю, и контрпример не придумал.

Утверждение неверно. Пусть $X$ гильбертово с ортонормированным базисом $\{e_n\}$. Пусть $X_0$ состоит из элементов пространства $X$, разложения которых в ряд Фурье по этому базису содержат лишь конечное количество ненулевых коэффициентов с нечётными номерами (коэффициенты с чётными номерами могут быть какими угодно). Пусть $L$ состоит из элементов пространства $X$, в разложении которых в ряд Фурье по этому базису все коэффициенты с нечётными номерами нулевые.

[mihaild]

У нас это была задача со звездочкой на третьем курсе. Хорошего решения я не знаю.
Плохое - заметить, что у нас есть последовательность функций единичной нормы, такая что $n$-я функция равна нулю во всех точках $\frac{k}{2^n}$. Считаем, что последовательность точек, на которых достигается норма, сходится к какой-то точке $p$, и строим последовательность $r_n$, быстро сходящуюся к $p$, такую что $f_n(r_n) - f_n(p)$ велико. И дальше написав $f = \sum \theta_n f_n$ с подходящими коэффициентами (не слишком быстро и не слишком медленно убывающими) получить что $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(r_n) - f(p)}{r_n - p}$ не существует - выбором знаков можно добиться, чтобы первые $n$ слагаемых были положительны, выбором соотношения $\theta_n$ и $r_n - p$ можно добиться, чтобы слагемые после $n$-го не очень влияли.
(если надо, у меня есть полное решение, даже в $\TeX$, оно не особо интересное)

drzewo в сообщении #1657125 писал(а):

Следовательно эти нормы на $X$ эквивалентны

А что в этом плохого?

Padawan в сообщении #1657122 писал(а):

Верно ли, что замкнутое подпространство $l_2$, целиком лежащее в $l_1$, конечномерно?

В $l_1$ слабая и сильная сходимость эквивалентны, а любое замкнутое подпространство $l_2$ либо конечномерно, либо гильбертово.

Padawan в сообщении #1657122 писал(а):

Попробовал обобщить: если $X_0$ -- всюду плотное подпространство в банаховом пространстве $X$, то замкнутое подпространство $L\subset X$, целиком лежащее в $X_0$, конечномерно

Пусть $A$ - Ваше любимое банахово пространство, $B$ - его всюду плотное незамкнутое подпространство. Возьмем $X = A \times A$, $X_0 = A \times B$, $L = A \times \{0\}$.

[Padawan]

mihaild в сообщении #1657141 писал(а):

drzewo в сообщении #1657125

писал(а):
Следовательно эти нормы на $X$ эквивалентны А что в этом плохого?

Возьмем в $X$ единичный шар. Если использовать норму $C^1$, то получим, что этот шар - равномерно ограниченное равностепенно непрерывное семейство. Значит, по теореме Арцела-Асколи этот шар предкомпактен по норме $C$. Значит, $X$ конечномерно. Все верно?

[mihaild]

Т.е. у нас получается, что, с одной стороны, нормы эквивалентны (т.к. сравнимы), а с другой - единичный шар по одной предкомпактен по другой. Да, красиво.

[ElfDante]

drzewo в сообщении #1657125 писал(а):

Далее
$u\in X\Longrightarrow \|u\|_C\le\|u\|_{C^1}$ и $X$ -- банахово относительно обеих норм. Следовательно эти нормы на $X$ эквивалентны

А почему эти нормы эквивалентны? Неравенство $\|u\|_C\le\|u\|_{C^1}$ очевидно, а как получить обратное?

[drzewo]

Теорему Банаха об обратном операторе к тождественному отображению применить