2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Подпространство в C([a, b])
Сообщение02.10.2024, 20:13 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Столкнулся с задачей: доказать, что замкнутое подпространство в $C([a, b])$ (с супремум-нормой), состоящее из непрерывно дифференцируемых функций, конечномерно.

Попытки решения: у нас есть непрерывное вложение $C^1([a, b]) \to C([a, b]) $, образ которого всюду плотен в $C([a, b])$. Попробовал обобщить: если $X_0$ -- всюду плотное подпространство в банаховом пространстве $X$, то замкнутое подпространство $L\subset X$, целиком лежащее в $X_0$, конечномерно. Как доказать - не знаю, и контрпример не придумал. Думал про $l_1$ в $l_2$. Верно ли, что замкнутое подпространство $l_2$, целиком лежащее в $l_1$, конечномерно?
Возможно, надо как-то использовать факт, что замкнутый шар компактен только в конечномерном пространстве.

Прошу подсказку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подпространство в C([a, b])
Сообщение02.10.2024, 20:38 


21/12/16
721
Padawan в сообщении #1657122 писал(а):
замкнутое подпространство в $C([a, b])$ (с супремум-нормой), состоящее из непрерывно дифференцируемых функций

назовем его $X$. $X$ замкнуто в $C^1[a,b]$.
Далее
$u\in X\Longrightarrow \|u\|_C\le\|u\|_{C^1}$ и $X$ -- банахово относительно обеих норм. Следовательно эти нормы на $X$ эквивалентны

 Профиль  
                  
 
 Re: Подпространство в C([a, b])
Сообщение02.10.2024, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
Padawan в сообщении #1657122 писал(а):
Попробовал обобщить: если $X_0$ -- всюду плотное подпространство в банаховом пространстве $X$, то замкнутое подпространство $L\subset X$, целиком лежащее в $X_0$, конечномерно. Как доказать - не знаю, и контрпример не придумал.
Утверждение неверно. Пусть $X$ гильбертово с ортонормированным базисом $\{e_n\}$. Пусть $X_0$ состоит из элементов пространства $X$, разложения которых в ряд Фурье по этому базису содержат лишь конечное количество ненулевых коэффициентов с нечётными номерами (коэффициенты с чётными номерами могут быть какими угодно). Пусть $L$ состоит из элементов пространства $X$, в разложении которых в ряд Фурье по этому базису все коэффициенты с нечётными номерами нулевые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подпространство в C([a, b])
Сообщение02.10.2024, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9089
Цюрих
У нас это была задача со звездочкой на третьем курсе. Хорошего решения я не знаю.
Плохое - заметить, что у нас есть последовательность функций единичной нормы, такая что $n$-я функция равна нулю во всех точках $\frac{k}{2^n}$. Считаем, что последовательность точек, на которых достигается норма, сходится к какой-то точке $p$, и строим последовательность $r_n$, быстро сходящуюся к $p$, такую что $f_n(r_n) - f_n(p)$ велико. И дальше написав $f = \sum \theta_n f_n$ с подходящими коэффициентами (не слишком быстро и не слишком медленно убывающими) получить что $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(r_n) - f(p)}{r_n - p}$ не существует - выбором знаков можно добиться, чтобы первые $n$ слагаемых были положительны, выбором соотношения $\theta_n$ и $r_n - p$ можно добиться, чтобы слагемые после $n$-го не очень влияли.
(если надо, у меня есть полное решение, даже в $\TeX$, оно не особо интересное)
drzewo в сообщении #1657125 писал(а):
Следовательно эти нормы на $X$ эквивалентны
А что в этом плохого?
Padawan в сообщении #1657122 писал(а):
Верно ли, что замкнутое подпространство $l_2$, целиком лежащее в $l_1$, конечномерно?
В $l_1$ слабая и сильная сходимость эквивалентны, а любое замкнутое подпространство $l_2$ либо конечномерно, либо гильбертово.
Padawan в сообщении #1657122 писал(а):
Попробовал обобщить: если $X_0$ -- всюду плотное подпространство в банаховом пространстве $X$, то замкнутое подпространство $L\subset X$, целиком лежащее в $X_0$, конечномерно
Пусть $A$ - Ваше любимое банахово пространство, $B$ - его всюду плотное незамкнутое подпространство. Возьмем $X = A \times A$, $X_0 = A \times B$, $L = A \times \{0\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подпространство в C([a, b])
Сообщение03.10.2024, 05:30 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
mihaild в сообщении #1657141 писал(а):
drzewo в сообщении #1657125

писал(а):
Следовательно эти нормы на $X$ эквивалентны А что в этом плохого?

Возьмем в $X$ единичный шар. Если использовать норму $C^1$, то получим, что этот шар - равномерно ограниченное равностепенно непрерывное семейство. Значит, по теореме Арцела-Асколи этот шар предкомпактен по норме $C$. Значит, $X$ конечномерно. Все верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подпространство в C([a, b])
Сообщение03.10.2024, 11:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9089
Цюрих
Т.е. у нас получается, что, с одной стороны, нормы эквивалентны (т.к. сравнимы), а с другой - единичный шар по одной предкомпактен по другой. Да, красиво.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подпространство в C([a, b])
Сообщение21.10.2024, 06:28 


31/01/23
27
drzewo в сообщении #1657125 писал(а):
Далее
$u\in X\Longrightarrow \|u\|_C\le\|u\|_{C^1}$ и $X$ -- банахово относительно обеих норм. Следовательно эти нормы на $X$ эквивалентны

А почему эти нормы эквивалентны? Неравенство $\|u\|_C\le\|u\|_{C^1}$ очевидно, а как получить обратное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подпространство в C([a, b])
Сообщение21.10.2024, 07:34 


21/12/16
721
Теорему Банаха об обратном операторе к тождественному отображению применить

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group