2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Первая формула Грина (теория)
Сообщение18.10.2024, 00:05 


09/07/20
133
Где можно найти доказательство этих формул?

1) $\int_{\Omega}\Delta v \cdot v dx=- \int_{\Omega}({\bigtriangledown}u \cdot {\bigtriangledown}v)dx+\int_{{\partial}{\Omega}}{\frac{\partial u}{\partial n}}^{+}{v}^{+}ds$.

2) Первая формула Грина.

$\int_{\Omega}(\Delta u \cdot v - u \cdot \Delta v ) dx=\int_{\partial \Omega}({\frac{\partial u}{\partial n}}^{+}{v}^{+}-  {\frac{\partial v}{\partial n}}^{+}{u}^{+}  )ds $.

$u,v \in C^{2}(\Omega) \cap C^{1}({\Omega} \baro), u=u(x_{1},...,x_{n}), v=v(x_{1},...,x_{n}).$ А $n$ - нормаль.

Дополнительные вопросы

Правильно ли я понимаю, что Если $u=x+y+z$ тогда :

$\bigtriangledown u=\frac{\partial u}{\partial x} i + \frac{\partial u}{\partial y} j + \frac{\partial u}{\partial x} k=i+j+k$

или

$u=(x^{2}+y)i+(y^{2}+z)k +(x+y+z)k$

$\bigtriangledown u=(\frac{\partial }{\partial x} i + \frac{\partial }{\partial y} j + \frac{\partial }{\partial x}) \cdot ((x^{2}+y)i+(y^{2}+z)k +(x+y+z)k)=2x \cdot i+2y \cdot j+1 \cdot k$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая формула Грина (теория)
Сообщение18.10.2024, 01:13 


21/12/16
721
На самом деле здесь только одна формула -- интегрирования по частям. И доказывается она для функций $f(x),g(x)$, а ваша 1) -- это уже следствие. 2) -- это следствие 1)
делаем раз:
$$\int_{\partial D}(\boldsymbol w,\boldsymbol n)dS=\int_D\mathrm{div}\,\boldsymbol wdV$$
делаем два:
$$\boldsymbol w=\Big(fg,0,\ldots,0\Big)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая формула Грина (теория)
Сообщение18.10.2024, 01:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
paranoidandroid в сообщении #1658903 писал(а):
$n$ - нормаль.
какая нормаль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая формула Грина (теория)
Сообщение18.10.2024, 01:58 


09/07/20
133
Red_Herring

$n$ - вектор нормали , области $\Omega \in R^{n}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая формула Грина (теория)
Сообщение18.10.2024, 02:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
paranoidandroid в сообщении #1658907 писал(а):
вектор нормали
нормали к чему и какой из них?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая формула Грина (теория)
Сообщение18.10.2024, 02:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
paranoidandroid
1) записано с ошибкой.

Кстати, что это за "плюсы" у функций под поверхностным интегралом? В них имеется некий глубокий смысл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая формула Грина (теория)
Сообщение18.10.2024, 15:46 


09/07/20
133
Мне просто сказали, что желательно знать доказательство этих формул. Я не мог обратить внимание на детали ( К чему нормаль и что означает ''плюси''). Если вы знаете какую-либо книгу, где написано что-то подобное, пожалуйста, порекомендуйте .

Дополнительные вопросы N:2.

Правильно ли я понимаю, что:

Если :

$u=x^{2}+y^{2}+z^{2}, v=x^{3}+y^{3}+z^{3} \in R^{3}$ .

Тогда:

$\Delta u \cdot v = (\frac{{\partial}^{2} u}{\partial x^{2}}+  \frac{{\partial}^{2} u}{\partial y^{2}}+ \frac{{\partial}^{2} u}{\partial z^{2}}) \cdot (x^{3}+y^{3}+z^{3})=(2+2+2) \cdot (x^{3}+y^{3}+z^{3})  $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая формула Грина (теория)
Сообщение18.10.2024, 15:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
paranoidandroid в сообщении #1658940 писал(а):
Мне просто сказали, что желательно знать доказательство этих формул. Я не мог обратить внимание на детали ( К чему нормаль и что означает ''плюси'').
Это фантастика! Знать доказательство формул, но не понимать самих формул.

Начните с того, что выучите из учебника матанализ 2го года формулу Гаусса-Остроградского, и там узнаете о какой нормали идет речь. А до того более сложные формулы не трогайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая формула Грина (теория)
Сообщение18.10.2024, 20:10 


21/12/16
721

(Оффтоп)

Пусть $D\subset\mathbb{R}^m$ -- ограниченная область с гладкой границей. И пусть $f,g\in C^1(\overline D)$ -- функции. Кроме того, предположим, что в $\mathbb{R}^m$ задана $m-$форма $\omega$ и векторное поле $v,\quad L_v\omega=0$. Все объекты достаточно гладкие в $\mathbb{R}^m$.
Формула интегрирования по частям имеет следующий вид
$$\int_Dg(L_v f)\omega=\int_{\partial D}gf i_v\omega-\int_Df(L_vg)\omega.$$
Здесь $i_v$ -- оператор гомотопии, $L_v$ -- производная Ли.

В частности, если $\partial D=\emptyset$ то оператор $L_v$ оказывается кососимметричным:
$$\int_Dg(L_v f)\omega=-\int_Df(L_vg)\omega.$$
Вспоминаем про Купмана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая формула Грина (теория)
Сообщение18.10.2024, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
drzewo Какие формы, какие поля? Вы имеете дело не со студентом мехмата МГУ, а со, скажем условно, учащимся мелиоративного техникума. Тут ответ на вопрос "какая нормаль?" требует запредельного напряжения мозга.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group