Первая формула Грина (теория)

[paranoidandroid]

Где можно найти доказательство этих формул?

1) $\int_{\Omega}\Delta v \cdot v dx=- \int_{\Omega}({\bigtriangledown}u \cdot {\bigtriangledown}v)dx+\int_{{\partial}{\Omega}}{\frac{\partial u}{\partial n}}^{+}{v}^{+}ds$.

2) Первая формула Грина.

$\int_{\Omega}(\Delta u \cdot v - u \cdot \Delta v ) dx=\int_{\partial \Omega}({\frac{\partial u}{\partial n}}^{+}{v}^{+}- {\frac{\partial v}{\partial n}}^{+}{u}^{+} )ds $.

$u,v \in C^{2}(\Omega) \cap C^{1}({\Omega} \baro), u=u(x_{1},...,x_{n}), v=v(x_{1},...,x_{n}).$ А $n$ - нормаль.

Дополнительные вопросы

Правильно ли я понимаю, что Если $u=x+y+z$ тогда :

$\bigtriangledown u=\frac{\partial u}{\partial x} i + \frac{\partial u}{\partial y} j + \frac{\partial u}{\partial x} k=i+j+k$

или

$u=(x^{2}+y)i+(y^{2}+z)k +(x+y+z)k$

$\bigtriangledown u=(\frac{\partial }{\partial x} i + \frac{\partial }{\partial y} j + \frac{\partial }{\partial x}) \cdot ((x^{2}+y)i+(y^{2}+z)k +(x+y+z)k)=2x \cdot i+2y \cdot j+1 \cdot k$?

[drzewo]

На самом деле здесь только одна формула -- интегрирования по частям. И доказывается она для функций $f(x),g(x)$, а ваша 1) -- это уже следствие. 2) -- это следствие 1)
делаем раз:

$$\int_{\partial D}(\boldsymbol w,\boldsymbol n)dS=\int_D\mathrm{div}\,\boldsymbol wdV$$

делаем два:

$$\boldsymbol w=\Big(fg,0,\ldots,0\Big)$$

[Red_Herring]

paranoidandroid в сообщении #1658903 писал(а):

$n$ - нормаль.

какая нормаль?

[paranoidandroid]

Red_Herring

$n$ - вектор нормали , области $\Omega \in R^{n}$.

[Red_Herring]

paranoidandroid в сообщении #1658907 писал(а):

вектор нормали

нормали к чему и какой из них?

[Утундрий]

paranoidandroid
1) записано с ошибкой.

Кстати, что это за "плюсы" у функций под поверхностным интегралом? В них имеется некий глубокий смысл?

[paranoidandroid]

Мне просто сказали, что желательно знать доказательство этих формул. Я не мог обратить внимание на детали ( К чему нормаль и что означает ''плюси''). Если вы знаете какую-либо книгу, где написано что-то подобное, пожалуйста, порекомендуйте .

Дополнительные вопросы N:2.

Правильно ли я понимаю, что:

Если :

$u=x^{2}+y^{2}+z^{2}, v=x^{3}+y^{3}+z^{3} \in R^{3}$ .

Тогда:

$\Delta u \cdot v = (\frac{{\partial}^{2} u}{\partial x^{2}}+ \frac{{\partial}^{2} u}{\partial y^{2}}+ \frac{{\partial}^{2} u}{\partial z^{2}}) \cdot (x^{3}+y^{3}+z^{3})=(2+2+2) \cdot (x^{3}+y^{3}+z^{3}) $.

[Red_Herring]

paranoidandroid в сообщении #1658940 писал(а):

Мне просто сказали, что желательно знать доказательство этих формул. Я не мог обратить внимание на детали ( К чему нормаль и что означает ''плюси'').

Это фантастика! Знать доказательство формул, но не понимать самих формул.

Начните с того, что выучите из учебника матанализ 2го года формулу Гаусса-Остроградского, и там узнаете о какой нормали идет речь. А до того более сложные формулы не трогайте.

[drzewo]

(Оффтоп)

Пусть $D\subset\mathbb{R}^m$ -- ограниченная область с гладкой границей. И пусть $f,g\in C^1(\overline D)$ -- функции. Кроме того, предположим, что в $\mathbb{R}^m$ задана $m-$форма $\omega$ и векторное поле $v,\quad L_v\omega=0$. Все объекты достаточно гладкие в $\mathbb{R}^m$.
Формула интегрирования по частям имеет следующий вид

$$\int_Dg(L_v f)\omega=\int_{\partial D}gf i_v\omega-\int_Df(L_vg)\omega.$$

Здесь $i_v$ -- оператор гомотопии, $L_v$ -- производная Ли.

В частности, если $\partial D=\emptyset$ то оператор $L_v$ оказывается кососимметричным:

$$\int_Dg(L_v f)\omega=-\int_Df(L_vg)\omega.$$

Вспоминаем про Купмана.

[Red_Herring]

drzewo Какие формы, какие поля? Вы имеете дело не со студентом мехмата МГУ, а со, скажем условно, учащимся мелиоративного техникума. Тут ответ на вопрос "какая нормаль?" требует запредельного напряжения мозга.