Первая формула Грина (теория)

[paranoidandroid]

Где можно найти доказательство этих формул?

1) $\int_{\Omega}\Delta v \cdot v dx=- \int_{\Omega}({\bigtriangledown}u \cdot {\bigtriangledown}v)dx+\int_{{\partial}{\Omega}}{\frac{\partial u}{\partial n}}^{+}{v}^{+}ds$.

2) Первая формула Грина.

$\int_{\Omega}(\Delta u \cdot v - u \cdot \Delta v ) dx=\int_{\partial \Omega}({\frac{\partial u}{\partial n}}^{+}{v}^{+}- {\frac{\partial v}{\partial n}}^{+}{u}^{+} )ds $.

$u,v \in C^{2}(\Omega) \cap C^{1}({\Omega} \baro), u=u(x_{1},...,x_{n}), v=v(x_{1},...,x_{n}).$ А $n$ - нормаль.

Дополнительные вопросы

Правильно ли я понимаю, что Если $u=x+y+z$ тогда :

$\bigtriangledown u=\frac{\partial u}{\partial x} i + \frac{\partial u}{\partial y} j + \frac{\partial u}{\partial x} k=i+j+k$

или

$u=(x^{2}+y)i+(y^{2}+z)k +(x+y+z)k$

$\bigtriangledown u=(\frac{\partial }{\partial x} i + \frac{\partial }{\partial y} j + \frac{\partial }{\partial x}) \cdot ((x^{2}+y)i+(y^{2}+z)k +(x+y+z)k)=2x \cdot i+2y \cdot j+1 \cdot k$?

[drzewo]

На самом деле здесь только одна формула -- интегрирования по частям. И доказывается она для функций $f(x),g(x)$, а ваша 1) -- это уже следствие. 2) -- это следствие 1)
делаем раз:

$$\int_{\partial D}(\boldsymbol w,\boldsymbol n)dS=\int_D\mathrm{div}\,\boldsymbol wdV$$

делаем два:

$$\boldsymbol w=\Big(fg,0,\ldots,0\Big)$$

[Red_Herring]

paranoidandroid в сообщении #1658903 писал(а):

$n$ - нормаль.

какая нормаль?

[paranoidandroid]

Red_Herring

$n$ - вектор нормали , области $\Omega \in R^{n}$.

[Red_Herring]

paranoidandroid в сообщении #1658907 писал(а):

вектор нормали

нормали к чему и какой из них?

[Утундрий]

paranoidandroid
1) записано с ошибкой.

Кстати, что это за "плюсы" у функций под поверхностным интегралом? В них имеется некий глубокий смысл?