Мощность суммы и произведения кардиналов

[pop4ik]

Помогите доказать следующее: $\aleph_{\alpha} + \aleph_{\beta} = \aleph_{\alpha} \cdot \aleph_{\beta} = \max(\aleph_{\alpha},\aleph_{\beta})$

[dgwuqtj]

Можно сначала доказать, что $2\, \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$, из этого (и теоремы Кантора—Бернштейна) будет следовать $\aleph_\alpha + \aleph_\beta = \max(\aleph_\alpha, \aleph_\beta) = \aleph_{\max(\alpha, \beta)}$.

[pop4ik]

dgwuqtj в сообщении #1658873 писал(а):

Можно сначала доказать, что $2\, \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$, из этого (и теоремы Кантора—Бернштейна) будет следовать $\aleph_\alpha + \aleph_\beta = \max(\aleph_\alpha, \aleph_\beta) = \aleph_{\max(\alpha, \beta)}$.

Звучит, как будто задача не упростилась. Я понимаю, что если докажем это то можем сказать что $\aleph_{\alpha} + \aleph_{\beta} = \aleph_{\alpha} + \aleph_{\alpha}$ (если альфа больше беты), но доказать саму эту лемму не так просто для произвольных кардиналов

[dgwuqtj]

Например, можно доказать так: во-первых, для ординалов есть правое деление с остатком. Из этого можно вывести, что все предельные ординалы (и кардиналы в том числе) делятся справа на $\omega$ в смысле умножения ординалов. Но тогда $|\alpha| = |\alpha' \cdot \omega| = \aleph_0 \cdot |\alpha'| = \aleph_0^2 \cdot |\alpha'| = \aleph_0 \cdot |\alpha|$, так что тем более $|\alpha| = 2\, |\alpha|$.

[pop4ik]

dgwuqtj в сообщении #1658875 писал(а):

Например, можно доказать так: во-первых, для ординалов есть правое деление с остатком. Из этого можно вывести, что все предельные ординалы (и кардиналы в том числе) делятся справа на $\omega$ в смысле умножения ординалов. Но тогда $|\alpha| = |\alpha' \cdot \omega| = \aleph_0 \cdot |\alpha'| = \aleph_0^2 \cdot |\alpha'| = \aleph_0 \cdot |\alpha|$, так что тем более $|\alpha| = 2\, |\alpha|$.

Ого!! А где можно почитать про деление с остатком для ординалов? Или мы просто выдялем наибольший $\alpha`$ такой чтобы $\alpha` \cdot \omega$ был не больше чем наш ординал? А почему мы можем так "сужать" и потом что то говорить про изначальный ординал?

[dgwuqtj]

Я немного ошибся, у ординалов умножение определяется с обратным лексикографическим порядком, так что деление с остатком будет слева. Утверждение: для любых ординалов $\alpha$ и $\beta \neq 0$ существуют единственные $\gamma$ и $\delta < \beta$ такие, что $\alpha = \beta \gamma + \delta$. Прочитать можно хотя бы в Верещагине—Шене (Начала теории множеств). Там и $\aleph_\alpha^2 = \aleph_\alpha$ доказывается, даже без ординальной арифметики.

[pop4ik]

dgwuqtj в сообщении #1658880 писал(а):

Я немного ошибся, у ординалов умножение определяется с обратным лексикографическим порядком, так что деление с остатком будет слева. Утверждение: для любых ординалов $\alpha$ и $\beta \neq 0$ существуют единственные $\gamma$ и $\delta < \beta$ такие, что $\alpha = \beta \gamma + \delta$. Прочитать можно хотя бы в Верещагине—Шене (Начала теории множеств). Там и $\aleph_\alpha^2 = \aleph_\alpha$ доказывается, даже без ординальной арифметики.

Спасибо большое!