2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мощность суммы и произведения кардиналов
Сообщение17.10.2024, 19:42 


17/10/24
7
Помогите доказать следующее: $\aleph_{\alpha} + \aleph_{\beta} = \aleph_{\alpha} \cdot \aleph_{\beta} = \max(\aleph_{\alpha},\aleph_{\beta})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность суммы и произведения кардиналов
Сообщение17.10.2024, 19:53 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Можно сначала доказать, что $2\, \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$, из этого (и теоремы Кантора—Бернштейна) будет следовать $\aleph_\alpha + \aleph_\beta = \max(\aleph_\alpha, \aleph_\beta) = \aleph_{\max(\alpha, \beta)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность суммы и произведения кардиналов
Сообщение17.10.2024, 19:55 


17/10/24
7
dgwuqtj в сообщении #1658873 писал(а):
Можно сначала доказать, что $2\, \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$, из этого (и теоремы Кантора—Бернштейна) будет следовать $\aleph_\alpha + \aleph_\beta = \max(\aleph_\alpha, \aleph_\beta) = \aleph_{\max(\alpha, \beta)}$.

Звучит, как будто задача не упростилась. Я понимаю, что если докажем это то можем сказать что $\aleph_{\alpha} + \aleph_{\beta} = \aleph_{\alpha} + \aleph_{\alpha}$ (если альфа больше беты), но доказать саму эту лемму не так просто для произвольных кардиналов

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность суммы и произведения кардиналов
Сообщение17.10.2024, 20:11 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Например, можно доказать так: во-первых, для ординалов есть правое деление с остатком. Из этого можно вывести, что все предельные ординалы (и кардиналы в том числе) делятся справа на $\omega$ в смысле умножения ординалов. Но тогда $|\alpha| = |\alpha' \cdot \omega| = \aleph_0 \cdot |\alpha'| = \aleph_0^2 \cdot |\alpha'| = \aleph_0 \cdot |\alpha|$, так что тем более $|\alpha| = 2\, |\alpha|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность суммы и произведения кардиналов
Сообщение17.10.2024, 20:17 


17/10/24
7
dgwuqtj в сообщении #1658875 писал(а):
Например, можно доказать так: во-первых, для ординалов есть правое деление с остатком. Из этого можно вывести, что все предельные ординалы (и кардиналы в том числе) делятся справа на $\omega$ в смысле умножения ординалов. Но тогда $|\alpha| = |\alpha' \cdot \omega| = \aleph_0 \cdot |\alpha'| = \aleph_0^2 \cdot |\alpha'| = \aleph_0 \cdot |\alpha|$, так что тем более $|\alpha| = 2\, |\alpha|$.

Ого!! А где можно почитать про деление с остатком для ординалов? Или мы просто выдялем наибольший $\alpha`$ такой чтобы $\alpha` \cdot \omega$ был не больше чем наш ординал? А почему мы можем так "сужать" и потом что то говорить про изначальный ординал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность суммы и произведения кардиналов
Сообщение17.10.2024, 20:28 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Я немного ошибся, у ординалов умножение определяется с обратным лексикографическим порядком, так что деление с остатком будет слева. Утверждение: для любых ординалов $\alpha$ и $\beta \neq 0$ существуют единственные $\gamma$ и $\delta < \beta$ такие, что $\alpha = \beta \gamma + \delta$. Прочитать можно хотя бы в Верещагине—Шене (Начала теории множеств). Там и $\aleph_\alpha^2 = \aleph_\alpha$ доказывается, даже без ординальной арифметики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность суммы и произведения кардиналов
Сообщение17.10.2024, 20:30 


17/10/24
7
dgwuqtj в сообщении #1658880 писал(а):
Я немного ошибся, у ординалов умножение определяется с обратным лексикографическим порядком, так что деление с остатком будет слева. Утверждение: для любых ординалов $\alpha$ и $\beta \neq 0$ существуют единственные $\gamma$ и $\delta < \beta$ такие, что $\alpha = \beta \gamma + \delta$. Прочитать можно хотя бы в Верещагине—Шене (Начала теории множеств). Там и $\aleph_\alpha^2 = \aleph_\alpha$ доказывается, даже без ординальной арифметики.

Спасибо большое!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group