2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мощность суммы и произведения кардиналов
Сообщение17.10.2024, 19:42 


17/10/24
7
Помогите доказать следующее: $\aleph_{\alpha} + \aleph_{\beta} = \aleph_{\alpha} \cdot \aleph_{\beta} = \max(\aleph_{\alpha},\aleph_{\beta})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность суммы и произведения кардиналов
Сообщение17.10.2024, 19:53 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Можно сначала доказать, что $2\, \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$, из этого (и теоремы Кантора—Бернштейна) будет следовать $\aleph_\alpha + \aleph_\beta = \max(\aleph_\alpha, \aleph_\beta) = \aleph_{\max(\alpha, \beta)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность суммы и произведения кардиналов
Сообщение17.10.2024, 19:55 


17/10/24
7
dgwuqtj в сообщении #1658873 писал(а):
Можно сначала доказать, что $2\, \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$, из этого (и теоремы Кантора—Бернштейна) будет следовать $\aleph_\alpha + \aleph_\beta = \max(\aleph_\alpha, \aleph_\beta) = \aleph_{\max(\alpha, \beta)}$.

Звучит, как будто задача не упростилась. Я понимаю, что если докажем это то можем сказать что $\aleph_{\alpha} + \aleph_{\beta} = \aleph_{\alpha} + \aleph_{\alpha}$ (если альфа больше беты), но доказать саму эту лемму не так просто для произвольных кардиналов

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность суммы и произведения кардиналов
Сообщение17.10.2024, 20:11 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Например, можно доказать так: во-первых, для ординалов есть правое деление с остатком. Из этого можно вывести, что все предельные ординалы (и кардиналы в том числе) делятся справа на $\omega$ в смысле умножения ординалов. Но тогда $|\alpha| = |\alpha' \cdot \omega| = \aleph_0 \cdot |\alpha'| = \aleph_0^2 \cdot |\alpha'| = \aleph_0 \cdot |\alpha|$, так что тем более $|\alpha| = 2\, |\alpha|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность суммы и произведения кардиналов
Сообщение17.10.2024, 20:17 


17/10/24
7
dgwuqtj в сообщении #1658875 писал(а):
Например, можно доказать так: во-первых, для ординалов есть правое деление с остатком. Из этого можно вывести, что все предельные ординалы (и кардиналы в том числе) делятся справа на $\omega$ в смысле умножения ординалов. Но тогда $|\alpha| = |\alpha' \cdot \omega| = \aleph_0 \cdot |\alpha'| = \aleph_0^2 \cdot |\alpha'| = \aleph_0 \cdot |\alpha|$, так что тем более $|\alpha| = 2\, |\alpha|$.

Ого!! А где можно почитать про деление с остатком для ординалов? Или мы просто выдялем наибольший $\alpha`$ такой чтобы $\alpha` \cdot \omega$ был не больше чем наш ординал? А почему мы можем так "сужать" и потом что то говорить про изначальный ординал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность суммы и произведения кардиналов
Сообщение17.10.2024, 20:28 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Я немного ошибся, у ординалов умножение определяется с обратным лексикографическим порядком, так что деление с остатком будет слева. Утверждение: для любых ординалов $\alpha$ и $\beta \neq 0$ существуют единственные $\gamma$ и $\delta < \beta$ такие, что $\alpha = \beta \gamma + \delta$. Прочитать можно хотя бы в Верещагине—Шене (Начала теории множеств). Там и $\aleph_\alpha^2 = \aleph_\alpha$ доказывается, даже без ординальной арифметики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность суммы и произведения кардиналов
Сообщение17.10.2024, 20:30 


17/10/24
7
dgwuqtj в сообщении #1658880 писал(а):
Я немного ошибся, у ординалов умножение определяется с обратным лексикографическим порядком, так что деление с остатком будет слева. Утверждение: для любых ординалов $\alpha$ и $\beta \neq 0$ существуют единственные $\gamma$ и $\delta < \beta$ такие, что $\alpha = \beta \gamma + \delta$. Прочитать можно хотя бы в Верещагине—Шене (Начала теории множеств). Там и $\aleph_\alpha^2 = \aleph_\alpha$ доказывается, даже без ординальной арифметики.

Спасибо большое!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group